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Forum "Schul-Analysis" - Mengenlehre, Beweis
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Mengenlehre, Beweis: Überprüfung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Fr 20.01.2006
Autor: Seppel

Hallo!

Ich habe angefangen mich schon einmal in ein Lehrbuch der Analysis einzuarbeiten. Das Kapitel der Mengenlehre habe ich soweit durch und sitze nun an an den Übungsaufgaben. Möchte mich hier einfach vergewissern, ob die Beweisführung richtig ist, oder ob ich da noch Denkfehler habe.
Nun zu den Aufgaben:

Beweise die Folgenden Aussagen:

a) [mm]M\cup M=M; M\cap M=M[/mm]

- [mm]x\in M\cup M \Rightarrow x\in M[/mm]
- [mm]x\in M\cap M \Rightarrow x\in M[/mm]

b) [mm]M\cup \emptyset=M; M\cap \emptyset= \emptyset[/mm]

- [mm]x\in M\cup \emptyset \gdw x\in M \vee x\in \emptyset \Rightarrow x\in M[/mm]
- [mm]x\in M\cap \emptyset \gdw x\in M \wedge x\in \emptyset \Rightarrow x\in \emptyset[/mm]  


Ist die Beweisführung so in Ordnung?

Gruß Seppel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Mengenlehre, Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Fr 20.01.2006
Autor: Bastiane

Hallo Seppel!

> Ich habe angefangen mich schon einmal in ein Lehrbuch der
> Analysis einzuarbeiten. Das Kapitel der Mengenlehre habe
> ich soweit durch und sitze nun an an den Übungsaufgaben.
> Möchte mich hier einfach vergewissern, ob die Beweisführung
> richtig ist, oder ob ich da noch Denkfehler habe.

Sehr vorbildlich. ;-) [ok]

>  Nun zu den Aufgaben:
>  
> Beweise die Folgenden Aussagen:
>  
> a) [mm]M\cup M=M; M\cap M=M[/mm]
>  
> - [mm]x\in M\cup M \Rightarrow x\in M[/mm]

Mmh - ich würde hier noch einen Zwischenschritt hinschreiben, oder wieso meinst du, folgt das direkt? Ich würde schreiben: [mm] $x\in M\cup [/mm] M [mm] \gdw x\in [/mm] M [mm] \vee x\in [/mm] M [mm] \gdw x\in [/mm] M$

>  - [mm]x\in M\cap M \Rightarrow x\in M[/mm]

Hier würde ich ebenfalls noch einen Zwischenschritt hinschreiben:
[mm] $x\in M\cap [/mm] M [mm] \gdw x\in [/mm] M [mm] \wedge x\in [/mm] M [mm] \gdw x\in [/mm] M$

Abgesehen davon hattest du die Hälfte vergessen: Du hast nur gezeigt: [mm] $M\cup [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M$ und musst dann noch zeigen: [mm] $M\subseteq M\cup [/mm] M$ (was allerdings in diesem Schritt trivial ist, aber ich würde schon einen Äquivalenzpfeil schreiben)
>  
> b) [mm]M\cup \emptyset=M; M\cap \emptyset= \emptyset[/mm]
>  
> - [mm]x\in M\cup \emptyset \gdw x\in M \vee x\in \emptyset \Rightarrow x\in M[/mm]
>  
> - [mm]x\in M\cap \emptyset \gdw x\in M \wedge x\in \emptyset \Rightarrow x\in \emptyset[/mm]

[daumenhoch] Aber hier müsste man doch auch noch jeweils [mm] $M\subseteq M\cup\emptyset$ [/mm] zeigen, oder nicht?

> Ist die Beweisführung so in Ordnung?

Bist auf die kleinen Korrekturen würde ich sagen: [daumenhoch] :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Mengenlehre, Beweis: Danke schön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Fr 20.01.2006
Autor: Seppel

Hi!

Ich danke dir Bastiane! Ich bin erstaunt, dass die Antwort so schnell kam. ;)
Aber wie gesagt, vielen Dank - das hat mir schon einmal sehr gut geholfen.

Gruß Seppel
Bezug
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