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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mo 11.09.2006 | | Autor: | dth100 |
| Aufgabe | | Wann sind die Morganschen Gestze gültig |
Hallo, ich hab mla eine Frage zu den Morganschen Gesetzen, in meinem schlauen Tafelwer steht: "Ist A Teilmenge von B"... gelten die Gesetze. Das heißt also, wenn ich 2 Mengen habe, bei denen die eine nicht Teilmenge der andern ist, gelten sie nicht oder was?
BSP:
A{1;2;3;4}
B{4;5;6}
Dann wäre
A [mm] \cap [/mm] B ={4}
A [mm] \cup [/mm] B = {1;2;3;4;5;6} (oder gehört die 4 nicht dazu, weil sie in beiden vorkommt)
[mm] \overline{A} \cap [/mm] B = {5;6;7}
[mm] \overline{A} \cup [/mm] B = {}
[mm] \overline{A \cap B} [/mm] = ?
[mm] \overline{A \cup B} [/mm] = ?
Vielen dank erstmal für eure Hilfe
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Hallo dth100,
> Wann sind die Morganschen Gestze gültig
> Hallo, ich hab mla eine Frage zu den Morganschen Gesetzen,
> in meinem schlauen Tafelwer steht: "Ist A Teilmenge von
> B"... gelten die Gesetze. Das heißt also, wenn ich 2 Mengen
> habe, bei denen die eine nicht Teilmenge der andern ist,
> gelten sie nicht oder was?
> BSP:
> A{1;2;3;4}
> B{4;5;6}
>
> Dann wäre
> A [mm]\cap[/mm] B ={4}
> A [mm]\cup[/mm] B = {1;2;3;4;5;6}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (oder gehört die 4 nicht dazu,
> weil sie in beiden vorkommt)
Es handelt sich hier um keine ausschließende Vereinigung (also nicht so wie ein XOR).
> [mm]\overline{A} \cap[/mm] B = {5;6;7}
> [mm]\overline{A} \cup[/mm] B = {}
> [mm]\overline{A \cap B}[/mm] = ?
> [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = ?
Was mir hier fehlt ist die Angabe einer Grundmenge, denn sonst ergeben Ausdrücke wie [mm] $\overline{A}$ [/mm] keinen Sinn, oder?
Setzen wir z.B. [mm]\Omega := \{1,2,\dotsc,9\}[/mm], dann erhält man:
[mm]\overline{A} \cap B = \{5, 6\}[/mm]
[mm]\overline{A} \cup B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/mm]
[mm]\overline{A \cap B} = \{1,2,3,5,6,7,8,9\}[/mm]
[mm]\overline{A \cup B} = \{7,8,9\}[/mm]
Auch wenn [mm]A \subseteq B[/mm] gilt, kommt man ohne einen Grundraum [mm]\Omega[/mm] nicht aus:
[mm]A \cap B = A[/mm]
[mm]A \cup B = B[/mm]
[mm]\overline{A}\cap B = B-A [/mm] wäre z.B. ohne [mm]\Omega[/mm] sinnlos. Ebenso auch die anderen Operationen. Es ist fast so, als wenn man in der Booleschen Algebra die 1 und die 0 bzw. das "wahr" und (damit auch) das "falsch" wegnehmen würde.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mo 11.09.2006 | | Autor: | dth100 |
Hallo, also erstmal danke für den Ansatz, stimmt das mit der Grundmaenge macht Sinn  )
Also ok, nehmen wir mal "deine" Grundmenge , dann ist doch aber bei [mm] \overline{A} \cup [/mm] B die 4 nicht enthalten, oder?
Naja und was ist dann mit den morgan gesetzen? Denn A ist ja keine Teilmenge von B, gelten sie trotzdem? Dann müsste z.B. gelten [mm] \overline{A \cap B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
Also z.B. [mm] \overline{A \cap B} [/mm] wären ja {1;2;3;5;6;7;8;9} mit
[mm] \overline{A} [/mm] = {5;6;7;8;9} und
[mm] \overline{B} [/mm] = {1;2;3;7;8;9} also
[mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] = {1;2;3;5;6;7;8;9}
also gelten sie trotzdem oder nicht? Was soll dann diese Einschränkung mit der Teilmenge?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:42 Mo 11.09.2006 | | Autor: | AriR |
wenn A eine teilmenge von B ist gelten sie IMMER ansonsten im allgemeinen nicht. das heißt sie können gelten, muss aber nicht, aber wenn A eine teilmenge von B ist, gelten sie IMMER. dsa ist normal bei jeder formulierung einer mathematischen Aussage so.
korrektur bei fehlern erwünscht :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo AriR,
> wenn A eine teilmenge von B ist gelten sie IMMER ansonsten
> im allgemeinen nicht. das heißt sie können gelten, muss
> aber nicht, aber wenn A eine teilmenge von B ist, gelten
> sie IMMER. dsa ist normal bei jeder formulierung einer
> mathematischen Aussage so.
Könntest du mir ein Beispiel dafür geben, wo die DeMorganschen Gesetze bei vorgegebener Grundmenge und $A$ und $B$ versagen? Ich finde jedenfalls die DeMorganschen Gesetze gelten immer, egal ob [mm]A \subseteq B[/mm] oder nicht.
Viele Grüße
Karl
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> Hallo, also erstmal danke für den Ansatz, stimmt das mit
> der Grundmaenge macht Sinn )
> Also ok, nehmen wir mal "deine" Grundmenge , dann ist doch
> aber bei [mm]\overline{A} \cup[/mm] B die 4 nicht enthalten, oder?
Wie schon gesagt, ist "[mm]\cup[/mm]" eine Operation, die keine gemeinsamen Elemente ausschließt also ein echtes "oder".
> Naja und was ist dann mit den morgan gesetzen? Denn A ist
> ja keine Teilmenge von B, gelten sie trotzdem? Dann müsste
> z.B. gelten [mm]\overline{A \cap B}[/mm] = [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
>
> Also z.B. [mm]\overline{A \cap B}[/mm] wären ja {1;2;3;5;6;7;8;9}
> mit
>
> [mm]\overline{A}[/mm] = {5;6;7;8;9} und
> [mm]\overline{B}[/mm] = {1;2;3;7;8;9} also
> [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm] = {1;2;3;5;6;7;8;9}
> also gelten sie trotzdem oder nicht? Was soll dann diese
> Einschränkung mit der Teilmenge?
Ich sehe das genauso wie du, und was die Einschränkung mit der Teilmenge soll, weiß ich jetzt auch nicht... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Mi 13.09.2006 | | Autor: | AriR |
hey leute tut mir leid. ich hab mir die formulierung des satzes nicht mehr genau angeguckt. Ich bin mal davon ausgegangen, dass dies in dem Satz vorausgesetzt wird. Wollte eigentlihc nur sagen, dass ein Zusammenhang auch gelten kann, wenn die Bedingungen eines Satzes, aus dem der Zusammenhang folgt, nicht gelten.
gruß Ari
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