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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Für [tex]A \subseteq X[/tex] und [tex]B \subseteq Y[/tex] stelle auf und beweise Formeln für die Komplemente der Mengen [tex]A \times Y[/tex] und [tex]A \times B[/tex] in Bezug auf die Grundmenge [tex]X \times Y[/tex]. |
11. Hier weiß ich nicht wie ich anfangen soll, da ich die Aufgabe nicht verstehe.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 So 31.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :),
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> Für [tex]A \subseteq X[/tex] und [tex]B \subseteq Y[/tex] stelle auf und
> beweise Formeln für die Komplemente der Mengen [tex]A \times Y[/tex]
> und [tex]A \times B[/tex] in Bezug auf die Grundmenge [tex]X \times Y[/tex].
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> 11. Hier weiß ich nicht wie ich anfangen soll, da ich die
> Aufgabe nicht verstehe.
Für (x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] Y gilt:
(x,y) [mm] \notin [/mm] A [mm] \times [/mm] Y [mm] \gdw
[/mm]
x [mm] \notin [/mm] A, y [mm] \in [/mm] Y [mm] \gdw
[/mm]
x [mm] \in A^c, [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \gdw
[/mm]
x [mm] \in A^c \times [/mm] Y
Also ist (A [mm] \times [/mm] Y [mm] )^c= A^c \times [/mm] Y
Nun versuch Du Dich mal an (A [mm] \times B)^c.
[/mm]
FRED
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> Danke im Voraus.
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> Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
$ (A [mm] \times B)^c [/mm] = [mm] (A^c \times [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times B^c) [/mm] $
Beweis:
$ <x,y> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times B)^c \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee y\notin [/mm] B) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee [/mm] y [mm] \notin [/mm] B [mm] \Leftarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \notin [/mm] B) [mm] \Leftrightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] Y) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \notin [/mm] B) [mm] \Leftrightarrow [/mm] <x,y> [mm] \in A^c \times [/mm] Y [mm] \vee [/mm] <x,y> [mm] \in [/mm] A [mm] \times B^c \Leftrightarrow [/mm] <x,y> [mm] \in (A^c \times [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times B^c)$
[/mm]
Da wo der Pfeil [mm] $\Leftarrow$ [/mm] kann ich auch problemlos [mm] $\Rightarrow$ [/mm] mit der Wahrheitstabelle zeigen, ist auch logisch. Vielleicht habe ich es bisschen zu ausführlich hingeschrieben...
Ich verstehe zwar wie das ganze entstanden ist und was ich gemacht habe, aber die Aufgabenstellung finde ich irgendwie komisch. Ich hab zwei mengen $A [mm] \times [/mm] B$ und $A [mm] \times [/mm] Y$ gegeben, die in $X [mm] \times [/mm] Y$ liegen und daraus solle ich Komplemente bilden d.h. $(A [mm] \times B)^c$ [/mm] und $(A [mm] \times Y)^c$. [/mm] Und aus diesen Komplementen soll ich irgendeine Gleichung erstellen? Warum musste ich denn $(A [mm] \times Y)^c [/mm] = [mm] A^c \times [/mm] Y$ zeigen? Ich könnte direkt $(A [mm] \times B)^c [/mm] = (A [mm] \times Y)^c \cup [/mm] (A [mm] \times B^c)$ [/mm] schreiben und diese Gleichung beweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> > Ich verstehe zwar wie das ganze entstanden ist und was ich
> > gemacht habe, aber die Aufgabenstellung finde ich irgendwie
> > komisch. Ich hab zwei mengen [mm]A \times B[/mm] und [mm]A \times Y[/mm]
> > gegeben, die in [mm]X \times Y[/mm] liegen und daraus solle ich
> > Komplemente bilden d.h. [mm](A \times B)^c[/mm] und [mm](A \times Y)^c[/mm].
>
> Genau.
>
> > Und aus diesen Komplementen soll ich irgendeine Gleichung
> > erstellen?
> ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich habe ja jetzt diese Komplemente $(A [mm] \times B)^c$ [/mm] und $(A [mm] \times Y)^c$. [/mm] Und meine Lösung ist die eine Gleichung die ich bewiesen habe. Soll ich also laut dieser Aufgabe mithilfe der beiden Komplemente eine Gleichung (Formel) aufstellen? Bin ich jetzt fertig? Ich habe aber aber auch (A [mm] \times B^c) [/mm] verwendet und in der Aufgabe stand nur "komplemente der Mengen $(A [mm] \times B)^c$ [/mm] und $(A [mm] \times Y)^c$. [/mm] Ich muss also eigentlich noch zeigen, dass $(A [mm] \times B)^c \backslash [/mm] (A [mm] \times Y)^c [/mm] = A [mm] \times B^c$ [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Und aus diesen Komplementen soll ich irgendeine Gleichung
> > > erstellen?
> >
>
> Ich habe ja jetzt diese Komplemente [mm](A \times B)^c[/mm] und [mm](A \times Y)^c[/mm].
> Und meine Lösung ist die eine Gleichung die ich bewiesen
> habe.
Deine Lösung sollte aus [mm] $(A\times B)^c=(A^c\times Y)\cup(A\times B^c)$, $(A\times Y)^c=A^c\times [/mm] Y$ und einem Beweis der beiden Formeln bestehen.
> Soll ich also laut dieser Aufgabe mithilfe der beiden
> Komplemente eine Gleichung (Formel) aufstellen?
Nein.
> Bin ich
> jetzt fertig?
Ja.
> Ich habe aber aber auch (A [mm]\times B^c)[/mm]
> verwendet und in der Aufgabe stand nur "komplemente der
> Mengen [mm](A \times B)^c[/mm] und [mm](A \times Y)^c[/mm]. Ich muss also
> eigentlich noch zeigen, dass [mm](A \times B)^c \backslash (A \times Y)^c = A \times B^c[/mm]
> oder?
Dass du das tun sollst, kann ich der Aufgabe nicht entnehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Dann verstehe ich die Aufgabe ehrlich gesagt nicht. Wie gesagt, es ist mir klar was ich gemacht habe, wie die Beweise zustande kommen, aber die Aufgabenstellung verstehe ich nicht. Könnte mir jemand bitte die Aufgabe "übersetzen"? :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Dann verstehe ich die Aufgabe ehrlich gesagt nicht. Wie
> gesagt, es ist mir klar was ich gemacht habe, wie die
> Beweise zustande kommen, aber die Aufgabenstellung verstehe
> ich nicht. Könnte mir jemand bitte die Aufgabe
> "übersetzen"? :D
Einen Versuch starte ich noch, dann überlasse ich hier lieber Anderen das Feld... 
Aufgabe:
Seien $X$ und $Y$ Mengen, [mm] $A\subseteq [/mm] X$ und [mm] $B\subseteq [/mm] Y$ Teilmengen.
1. Finde eine Formel für [mm] $(A\times Y)^c$, [/mm] wobei wir [mm] $A\times [/mm] Y$ als Teilmenge von [mm] $X\times [/mm] Y$ betrachten. Beweise diese Formel.
2. Finde eine Formel für [mm] $(A\times B)^c$, [/mm] wobei wir [mm] $A\times [/mm] B$ als Teilmenge von [mm] $X\times [/mm] Y$ betrachten. Beweise diese Formel.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
