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| Aufgabe | Beweise folgende Regel für mengentheoretische Operationen. Dabei bezeichne A [mm] \Delta [/mm] B := (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A) die symmetrische Differenz von A und B
A [mm] \Delta (\cup_{i}^{\infty} B_i) \subseteq \cup_{i}^{\infty}(A \Delta B_i) [/mm] |
Hallo,
also A [mm] \Delta (\cup_{i}^{\infty} B_i) [/mm] sagt ja, dass x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in \cup_{i}^{\infty} B_i \vee [/mm] x [mm] \in \cup_{i}^{\infty} B_i \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A.
A [mm] \Delta B_i [/mm] = (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in B_i) \vee [/mm] (x [mm] \in B_i \wedge [/mm] x [mm] \not \in [/mm] A)
Die Vereinigung wäre dann ja eigtl A und alle [mm] B_i, [/mm] oder denk ich da zu einfach? und deswegen is des auch nur ne Teilmenge oder?
schon mal vielen Dank
fg
Chrissi
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Hallo chrissi2709,
Deine Schreibweise ist etwas unsauber.
Scheiben wir die Behauptung einfach ausführlich auf:
[mm]A \Delta (\cup_{i=0}^{\infty} B_i) =\\ \{x\,|\, (x\in A \wedge
\neg\exists i (x \in B_i \wedge i \in \mathbb{N})) \vee (\exists i(x\in B_i \wedge i \in \mathbb{N}) \wedge x\notin A ) \} \subseteq \\ \{x\,|\, \exists i (x\in A \Delta B_i \wedge i\in\mathbb{N} ) \} = \\ \cup_{i=0}^{\infty} A \Delta B_i [/mm]
Ein Element [mm] $x\in [/mm] A [mm] \Delta (\cup_{i=0}^{\infty} B_i)$ [/mm] erfüllt also die Bedingungen für die Zugehörigkeit zu [mm] $\cup_{i=0}^{\infty} [/mm] A [mm] \Delta B_i$. [/mm] Deshalb ist [mm] $A\Delta (\cup_{i=0}^{\infty} B_i) \subseteq \cup_{i=0}^{\infty} [/mm] A [mm] \Delta B_i$.
[/mm]
Man kann diese Teilmengenbeziehung nicht einfach umkehren um Gleichheit zu erhalten:
Beispiel: $A = [mm] \{0\}\subset \mathbb{N}$, $B_i [/mm] = [mm] \{i\}$, [/mm] $i [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
[mm] $\cup_{i=0}^{\infty} [/mm] A [mm] \Delta B_i [/mm] = [mm] \cup_{i=0}^{\infty} \{0\}\Delta \{i\}= \mathbb{N}\not\subset [/mm] A [mm] \Delta (\cup_{i=0}^{\infty} B_i) [/mm] = [mm] \{0\} \Delta \mathbb{N} [/mm] = [mm] \mathbb{N} \backslash \{0\} [/mm] $
Wir können das Beispiel auch leicht abwandeln, indem [mm] $B_i \not= \emptyset$ [/mm] nur für $i < [mm] k,\, k\in \mathbb{N}$ [/mm] gefordert wird.
Gruß mathfunnel
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