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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Do 28.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind (als metrischer Raum) vollständig?
- [mm] \IZ
[/mm]
- [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ
[/mm]
- [mm] \bigcup_{n \in \IZ}^{n} [/mm] [2n, 2n+1]
- [mm] (\IR [/mm] \ [mm] \IQ) \cup (\IQ [/mm] \ [mm] \IR) [/mm] |
Hallo,
Also bei dieser Aufgabe ist klar, dass die erste Anwortmöglichkeit richtig und die 2. falsch ist. Dass [mm] \IZ [/mm] völlständig ist, ist laut Definition so und [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] ist nicht vollständig, da nicht jede Cauchy-Folge in ihr konvergiert. Als Gegenbeispiel habe ich hier ganz einfach die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gefunden. Das ist ja eine Cauchy-Folge, denn sie konvergiert gegen 0. Und Sie liegt vollständig in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ, [/mm] denn sie erreicht die 0 ja nie. Ihr Grenzwert - 0 - ist jedoch eine ganze Zahl, also [mm] \in \IZ. [/mm] Damit liegt der Grenze dieser Cauchy-Folge außerhalb von [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] und damit konvergiert schonmal nicht jede Cauchy-Folge in dieser Menge.
Dann die 3. Antwortmöglichkeit ist...ein bisschen komisch (also auch von der Notation her) aber ich denke, die ist vollständig, denn die besteht ja aus lauter ganzen Zahlen (weil 2*ganze Zahl = ganze Zahl und 2*ganze Zahl + 1= auch ganze Zahl) und ich denke mal, jede Teilmenge (oder vllt. nicht jede, aber zumindest jede "gleichmäßige", das ist jetz kein mathematischer Begriff aber ihr wisst schon was ich meine, oder?) von [mm] \IZ [/mm] müsste auch vollständig sein, denn ich kann mir nicht vorstellen, wie eine Cauchy-Folge "nach außerhalb davon" konvergieren sollte. Man kann ja eine beliebige Cauchy-Folge bilden und die muss ja immer gegen einen Wert [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] konvergieren, oder? ich wüsste zwar jetzt nicht wie ich das beweisen sollte, aber muss man hier ja nicht. Und ein Gegenbeispiel fällt mir jedenfalls nicht ein  .
Zu der letzten Antwortmöglichkeit: Also wenn ich mir nur den ersten Teil ( [mm] (\IR [/mm] \ [mm] \IQ) [/mm] ) anschau, dann isst das ja der gleiche Fall wie [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ. [/mm] Und der 2.Teil ist ja die leere Menge, oder? Weil [mm] \IQ [/mm] ja komplett in [mm] \IR [/mm] liegt und wenn ich also [mm] (\IQ [/mm] \ [mm] \IR) [/mm] mache, dann geht das ja eigentlich garnicht? Weil ich ja dann mehr abziehe als ich am Anfang habe und es gibt ja keine negativen Mengen! Also vermute ich mal, dass das als leere Menge definiert ist undd deswegen ergibt sich eigentlich der gleiche Fall wie bei der 2. Antwortmöglichkeit, oder?
lG
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Für Teilräume eines vollständigen Raumes (und [mm]\mathbb{R}[/mm], versehen mit der euklidischen Metrik ist vollständig) sind Vollständigkeit und Abgeschlossenheit dasselbe.
Ob du die Definition in 3. so richtig verstanden hast, bezweifle ich. Deine Ausführungen dazu sind höchst mißverständlich. Es handelt sich hier nämlich um eine abzählbare Vereinigung von Intervallen [mm][2n,2n+1][/mm], ausführlich geschrieben
[mm]C = \ldots \cup [-4,-3] \cup [-2,-1] \cup [0,1] \cup [2,3] \cup [4,5] \cup \ldots[/mm]
Und am einfachsten ist es, wenn du das Komplement dieser Menge betrachtest, also
[mm]\mathbb{R} \setminus C = \ldots (-3,-2) \cup (-1,0) \cup (1,2) \cup (3,4) \cup \ldots[/mm]
Was gilt hier bezüglich Offenheit/Abgeschlossenheit?
Und bei der 4. Aufgabe handelt es sich schlicht um die Menge der irrationalen Zahlen. Gib doch einfach eine nicht-konvergente Cauchy-Folge an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:44 Fr 29.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
hallo,
> Für Teilräume eines vollständigen Raumes (und
> [mm]\mathbb{R}[/mm], versehen mit der euklidischen Metrik ist
> vollständig) sind Vollständigkeit und Abgeschlossenheit
> dasselbe.
wieder was dazugelernt...^^
Ok, die 3. hatte ich wirklich völlig falsch verstanden! Danke, dass du mich aufgeklärt hast!! 
>
> Und am einfachsten ist es, wenn du das Komplement dieser
> Menge betrachtest, also
>
> [mm]\mathbb{R} \setminus C = \ldots (-3,-2) \cup (-1,0) \cup (1,2) \cup (3,4) \cup \ldots[/mm]
>
> Was gilt hier bezüglich Offenheit/Abgeschlossenheit?
>
Naja, die Vereinigungsmenge von offenen Mengen ist doch auch offen (nehm ich mal an, ist ja aber logisch) und deswegen ist dann also ihr Komplement = die gefragte Menge [mm] \bigcup_{n \in \IZ} [/mm] [2*n, 2*n+1] abgeschlossen.
> Und bei der 4. Aufgabe handelt es sich schlicht um die
> Menge der irrationalen Zahlen. Gib doch einfach eine
> nicht-konvergente Cauchy-Folge an.
Habe ich das jetzt richtig verstanden: [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ \cup \IQ [/mm] \ [mm] \IR [/mm] = die Menge der irrationalen Zahlen? das wusste ich auch noch nicht... eine nicht konvergente Cauchy-Folge wäre ja z.B.
und...(da bin ich drauf gekommen, weil ich im ersten Moment diese Folge bei der 4. als Gegenbeispiel angeben wollte, was ja NICHT funktioniert, oder?) : wenn ich zeigen will, dass [mm] \IQ [/mm] (als metrischer Raum) nicht vollständig ist, kann ich [mm] a_{i+1}:= \bruch{a_i}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_i} [/mm] ,oder? denn der Grenzwert davon ist [mm] \wurzel{2}, [/mm] eine irrationale Zahl [mm] \Rightarrow [/mm] sie konvergiert ja gegen eine rationale Zahl und damit nicht in [mm] \IQ
[/mm]
lG
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[mm]\mathbb{Q} = \text{rationale Zahlen}[/mm]
[mm]\text{Komplement} = \text{Gegenteil}[/mm]
[mm]\mathbb{R} - \mathbb{Q} = \text{Komplement von} \ \mathbb{Q}[/mm]
[mm]\text{Gegenteil von rational} = \text{irrational}[/mm]
[mm]\mathbb{R} - \mathbb{Q} = \text{irrationale Zahlen}[/mm]
[mm]\frac{1}{\sqrt{2}}, \, \frac{1}{\sqrt{3}}, \, \frac{1}{\sqrt{5}}, \, \frac{1}{\sqrt{7}}, \, \frac{1}{\sqrt{11}}, \, \frac{1}{\sqrt{13}}, \, \frac{1}{\sqrt{17}}, \, \ldots[/mm]
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