Mengendifferenz, Quadratzahlen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 09.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bestimme die Menge [mm] A\setminus [/mm] B und [mm] B\setminus [/mm] A für
[mm] A=\{n^2|n\in\IN\},B=\{2^n|n\in\IN\} [/mm] |
Hallo
[mm] A\setminus B=\{k\in \IN|(\exists n\in\IN: k=n^2) \wedge (\forall t \in \IN :2^t\not=k)\}
[/mm]
Ich habe die Menge der Quadratzahlen und muss für [mm] A\setminus [/mm] B alle die Zahlen aus der Menge hinausstreichen, die eine Zweierpotenz sind.
Nun möchte ich [mm] A\setminus [/mm] B mehr präzisieren.
Wie erkenne ich also ob für EIN [mm] x\in [/mm] A auch gilt x [mm] \in [/mm] B ?
Ich beweise dafür die Aussage: [mm] n\in \IN_g [/mm] => [mm] 2^n \in [/mm] A
Sei n [mm] \in \IN_g [/mm] beliebig
[mm] ZZ.:2^n \in [/mm] A dh [mm] \exists k\in\IZ:k^2=2^n
[/mm]
Nach def. [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ:n=2k
[/mm]
[mm] 2^n=2^{2k} =(2^k)^2 [/mm]
Also wähle [mm] k=2^k [/mm] und die Aussage ist gezeigt.
Aber gilt die [mm] Rueckrichtung(n\in \IN_g [/mm] <= [mm] 2^n \in [/mm] A) auch oder gibt es ein Gegenbeispiel?
[mm] 2^n \in [/mm] A mit beliebigen n [mm] \in \IN
[/mm]
ZZ.: n [mm] \in \IN_g, [/mm] dh [mm] \exists h\in\IZ:n=2h
[/mm]
Nach Def. [mm] \exists [/mm] t [mm] \in \IN: 2^n=t^2
[/mm]
Ich weiß ja jetzt nur dass wenn ich eine Quadratzahl habe [mm] t=n^2 [/mm] und n gerade ist, dann kann ich t als Zweierpotenz schreiben.
LG,
einer verunsicherten sissi
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> Bestimme die Menge [mm]A\setminus[/mm] B und [mm]B\setminus[/mm] A für
> [mm]A=\{n^2|n\in\IN\},B=\{2^n|n\in\IN\}[/mm]
> Hallo
>
> [mm]A\setminus B=\{k\in \IN|(\exists n\in\IN: k=n^2) \wedge (\forall t \in \IN :2^t\not=k)\}[/mm]
>
> Ich habe die Menge der Quadratzahlen und muss für
> [mm]A\setminus[/mm] B alle die Zahlen aus der Menge hinausstreichen,
> die eine Zweierpotenz sind.
>
> Nun möchte ich [mm]A\setminus[/mm] B mehr präzisieren.
> Wie erkenne ich also ob für EIN [mm]x\in[/mm] A auch gilt x [mm]\in[/mm] B ?
Ich würde mal sagen, eine Quadratzahl [mm] x=n^2 [/mm] ist nur dann eine
Zweierpotenz, wenn auch die Basis n des Quadrates schon eine
Zweierpotenz ist.
> Ich beweise dafür die Aussage: [mm]n\in \IN_g[/mm] => [mm]2^n \in[/mm] A
Was bezeichnest du mit [mm] \IN_g [/mm] ? Menge der geraden natürlichen Zahlen ?
> Sei n [mm]\in \IN_g[/mm] beliebig
> [mm]ZZ.:2^n \in[/mm] A dh [mm]\exists k\in\IZ:k^2=2^n[/mm]
> Nach def.
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ:n=2k[/mm]
> [mm]2^n=2^{2k} =(2^k)^2[/mm]
> Also wähle [mm]k=2^k[/mm] und die Aussage ist gezeigt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Sorry, aber was für ein Unsinn ist denn das ?
Wähle doch für deine Hilfsgrößen nicht immer wieder
denselben Buchstaben k ! So macht das wirklich keinen Sinn.
> Aber gilt die [mm]Rueckrichtung(n\in \IN_g[/mm] <= [mm]2^n \in[/mm] A) auch
> oder gibt es ein Gegenbeispiel?
> [mm]2^n \in[/mm] A mit beliebigen n [mm]\in \IN[/mm]
> ZZ.: n [mm]\in \IN_g,[/mm] dh
> [mm]\exists h\in\IZ:n=2h[/mm]
> Nach Def. [mm]\exists[/mm] t [mm]\in \IN: 2^n=t^2[/mm]
>
> Ich weiß ja jetzt nur dass wenn ich eine Quadratzahl habe
> [mm]t=n^2[/mm] und n gerade ist, dann kann ich t als Zweierpotenz
> schreiben.
Moment mal, das stimmt doch aber nicht ...
6 ist eine gerade Zahl; das Quadrat davon ist 36, und dies ist
keine Zweierpotenz !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Fr 10.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Nochmal auf Anfang, ok?
[mm] A\setminus B=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{2^n|n\in\IN\}
[/mm]
Ich habe eine beliebige Zahl [mm] x\in [/mm] A,
d.h. [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN:x=n^2
[/mm]
wie erkenne ich nun an der Basis n ob es sich bei x um eine Zweierpotenz handelt?
Du sagst, nur wenn n selbst eine Zweierpotenz ist.
----------------------------------
Sei x [mm] =n^2 [/mm] für beliebiges n [mm] \in \IN
[/mm]
Basis [mm] n\in [/mm] B => [mm] x\in [/mm] B
Bew:
n [mm] \in [/mm] B, d.h. [mm] \exists [/mm] t [mm] \in \IZ: [/mm] n= [mm] 2^t
[/mm]
x= [mm] n^2 [/mm] = [mm] (2^t)^2 [/mm] = [mm] 2^{2t} [/mm] -> [mm] x\in [/mm] B
----------------------------------
Aber erwische ich damit alle Quadratzahlen, die auch Zweierpotenzen sind?
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Hallo,
> Hallo,
> Nochmal auf Anfang, ok?
>
> [mm]A\setminus B=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{2^n|n\in\IN\}[/mm]
> Ich
> habe eine beliebige Zahl [mm]x\in[/mm] A,
> d.h. [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN:x=n^2[/mm]
> wie erkenne ich nun an der
> Basis n ob es sich bei x um eine Zweierpotenz handelt?
> Du sagst, nur wenn n selbst eine Zweierpotenz ist.
>
> ----------------------------------
> Sei x [mm]=n^2[/mm] für beliebiges n [mm]\in \IN[/mm]
> Basis [mm]n\in[/mm] B => [mm]x\in[/mm]
> B
> Bew:
> n [mm]\in[/mm] B, d.h. [mm]\exists[/mm] t [mm]\in \IZ:[/mm] n= [mm]2^t[/mm]
> x= [mm]n^2[/mm] = [mm](2^t)^2[/mm] = [mm]2^{2t}[/mm] -> [mm]x\in[/mm] B
> ----------------------------------
>
> Aber erwische ich damit alle Quadratzahlen, die auch
> Zweierpotenzen sind?
Ja, denn die Basis ist 2 und der Exponent gerade. Das ist aber genau die Schnittmenge von A und B, die du suchst: die Zweierpotenzen mit geradem Exponenten.
Gruß, Diophant
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> > Aber erwische ich damit alle Quadratzahlen, die auch
> > Zweierpotenzen sind?
>
> Ja, denn die Basis ist 2 und der Exponent gerade. Das ist
> aber genau die Schnittmenge von A und B, die du suchst:
> die Zweierpotenzen mit geradem Exponenten.
Hallo Diophant,
ich möchte nur darauf hinweisen, dass in der Aufgabe nicht
die Schnittmenge von A und B gesucht war, sondern die beiden
Differenzmengen $\ [mm] A\smallsetminus [/mm] B$ und $\ [mm] B\smallsetminus [/mm] A$
Natürlich kann man auf dem Weg dazu auch die Schnittmenge
$\ [mm] A\cap [/mm] B $ benützen, falls dies hilfreich ist.
LG , Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Sa 11.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo
> > Aber erwische ich damit alle Quadratzahlen, die auch
> > Zweierpotenzen sind?
>
> Ja, denn die Basis ist 2 und der Exponent gerade. Das ist
> aber genau die Schnittmenge von A und B, die du suchst: die
> Zweierpotenzen mit geradem Exponenten.
Stimmt danke.
> Hallo Diophant,
> ich möchte nur darauf hinweisen, dass in der Aufgabe nicht
> die Schnittmenge von A und B gesucht war, sondern die beiden
> Differenzmengen [mm] A\smallsetminus [/mm] B und [mm] B\smallsetminus [/mm] A
Ja.
[mm] A\setminus B=A\setminus(A\cap B)=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{x\in A| \exists n \in B: x=n^2\}=\{x|\exists n \in \IN\setminus B : x=n^2\}
[/mm]
[mm] B\setminus [/mm] A [mm] =B\setminus(A\cap [/mm] B) = [mm] \{2^n | n \in \IN\} \setminus\{x \in A| \exists n \in B:x=n^2\}=\{x | \exists n \in \IN\setminus B : x=2^n\}
[/mm]
Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht geirrt.
LG,
sissi
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Hallo,
beide Mengennotationen sind falsch. Ich sehe auch ehrlich gesagt keinen Sinn dahinter, das jetrzt auseinanderzupfriemeln, da man nämlich sicherlich objektiv festhalten kann, dass du die bis hierhin gewonnenen Erkenntnisse über die Eigenschaft von [mm] A\cap{B} [/mm] überhaupt nicht verwendest.
Ich würde dir weiter empfehlen, solche Mengennotationen wie die obigen in einem Forum nicht einfach unkommentiert hinzuschreiben, sondern zu erklären. Das ist eh schon aufwändig zu lesen, richtig schwierig wird es jedoch, wenn wie hier Fehler enthalten sind.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 So 12.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Schade, dass ich es noch immer nicht verstanden habe.
Ich habe etwas korrigiert und erkläre mal was ich mir dabei gedacht habe.
Ich hoffe ich nerve damit nicht.
$ [mm] A\setminus B=A\setminus(A\cap B)=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{x\in B| \exists n \in B: x=n^2\}=\{x|\exists n \in \IN\setminus B : x=n^2\} [/mm] $
Die Menge A besteht aus allen Elemente x sodass [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN: x=n^2. [/mm] Bei der Menge A [mm] \setminus [/mm] B muss ich aus der Menge A alle Elemte streichen die Quadratzahl sind und zugleich Zweierpotenzen sind. Dies beschreibe ich mit A [mm] \cap [/mm] B.
Zusammengefasst sind in [mm] A\setminus [/mm] B alle Elemente x, für die ein n [mm] \in \IN [/mm] existiert mit [mm] x=n^2 [/mm] und die Basis n keine Zweierpotenz darstellt.(was wir vorher gezeigt haben)
Liebe Grüße,
sissi
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Hallo,
> Hallo,
>
> Schade, dass ich es noch immer nicht verstanden habe.
> Ich habe etwas korrigiert und erkläre mal was ich mir
> dabei gedacht habe.
> Ich hoffe ich nerve damit nicht.
>
> [mm]A\setminus B=A\setminus(A\cap B)=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{x\in B| \exists n \in B: x=n^2\}=\{x|\exists n \in \IN\setminus B : x=n^2\}[/mm]
>
> Die Menge A besteht aus allen Elemente x sodass [mm]\exists[/mm] n
> [mm]\in \IN: x=n^2.[/mm] Bei der Menge A [mm]\setminus[/mm] B muss ich aus
> der Menge A alle Elemte streichen die Quadratzahl sind und
> zugleich Zweierpotenzen sind. Dies beschreibe ich mit A
> [mm]\cap[/mm] B.
Das ist jetzt richtig gedacht. Aber mal ganz ehrlich: ist dir selbst nicht aufgefallen, dass in deiner obigen Notation an keiner Stelle irgendwoe Zweierpotenzen auftauchen? Das kann also nicht stimmen!
>
> Zusammengefasst sind in [mm]A\setminus[/mm] B alle Elemente x, für
> die ein n [mm]\in \IN[/mm] existiert mit [mm]x=n^2[/mm] und die Basis n keine
> Zweierpotenz darstellt.(was wir vorher gezeigt haben)
Da geht es ja weniger darum, etwas zu zeigen (der Sachverhalt ist einfach). Es geht darum, diesen Sachverhalt korrekt zu notieren. Schau jetzt, dass du die Menge B mal korrekt notierst, und was ich auch unbedingt vermeiden würde (mich verwirrt das beim Lesen total und ich vermute auch, dass man es nicht darf, bin mir aber nicht sicher damit): den Mengenbuchstabe der Menge, die ich gerade definiere innerhalb dieser Definition zu verwenden. Auch das machst du mit der Menge B oben.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Mo 13.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich habe es nochmal versucht. Mein - denke ich letzter Versuch vor der Kapitulation..;|
[mm] A\setminus B\underbrace{=}_{\*} A\setminus (A\cap B)\underbrace{=}_{\*\*} \{x|\exists n \in \IN:x=n^2\} \setminus \{ x|\exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \exists m \in \IN: n=2^m\}
[/mm]
[mm] \underbrace{=}_{\*\*\*} \{x| \exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \neg(\exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \exists m\in \IN:n=2^m)\}=\{x| \exists n \in \IN: x=n^2 \wedge [\forall n \in \IN: x\not=n^2 \vee \forall m\in \IN:n\not=2^m)]\}\overbrace{=}_{\odot}\{x|\exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \forall m\in \IN:n\not=2^m\}
[/mm]
Erklärungen der Schritte:
[mm] \* [/mm] Bei der Menge A $ [mm] \setminus [/mm] $ B muss ich aus der Menge A alle Elemte streichen die Quadratzahl sind und zugleich Zweierpotenzen sind. Dies beschreibe ich mit [mm] A\cap [/mm] B.
[mm] \* \* [/mm] A [mm] \cap [/mm] B sind genau die Quadratzahlen deren Basis eine Zweierpotenz ist.
[mm] \* \* \* [/mm] Wenn x [mm] \in [A\setminus (A\cap [/mm] B)] ist bedeutet dies, dass x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) Und das bedeutet x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \neg(A \cap [/mm] B)
[mm] \odot [/mm] Seien q,p Aussagen so gilt: p [mm] \wedge [\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q]= (p [mm] \wedge \neg [/mm] p) [mm] \vee [/mm] (p [mm] \wedge [/mm] q)= 0 [mm] \vee [/mm] (p [mm] \wedge [/mm] q)=p [mm] \wedge [/mm] q
[mm] B\setminus [/mm] A= [mm] B\setminus [/mm] (A [mm] \cap B)=\{x| \exists n \in \IN: x= 2^n \wedge [\forall n \in \IN: x\not=n^2 \vee \forall m\in \IN:n\not=2^m)]\}\overbrace{=}_{\Box} \{x| \exists n \in \IN: x=2^n \wedge \forall m\in \IN:n\not=2^m \}
[/mm]
Erklärung:
[mm] \Box [/mm] Seien s,t, Aussagen so gilt: s [mm] \wedge [t\vee \neg [/mm] s]= (s [mm] \wedge [/mm] t) [mm] \vee [/mm] (s [mm] \wedge \neg [/mm] s)= (s [mm] \wedge [/mm] t) [mm] \vee [/mm] 0=s [mm] \wedge [/mm] q
Lg,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe es nochmal versucht. Mein - denke ich letzter
> Versuch vor der Kapitulation..;|
Du warst gut dabei; ich sehe keinen Grund zur Kapitulation! 
> [mm]A\setminus B\underbrace{=}_{\*} A\setminus (A\cap B)\underbrace{=}_{\*\*} \{x|\exists n \in \IN:x=n^2\} \setminus \{ x|\exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \exists m \in \IN: n=2^m\}[/mm]
>
> [mm]\underbrace{=}_{\*\*\*} \{x| \exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \neg(\exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \exists m\in \IN:n=2^m)\}=\{x| \exists n \in \IN: x=n^2 \wedge [\forall n \in \IN: x\not=n^2 \vee \forall m\in \IN:n\not=2^m)]\}\overbrace{=}_{\odot}\{x|\exists n \in \IN: x=n^2 \wedge \forall m\in \IN:n\not=2^m\}[/mm]
>
>
> Erklärungen der Schritte:
> [mm]\*[/mm] Bei der Menge A [mm]\setminus[/mm] B muss ich aus der Menge A
> alle Elemte streichen die Quadratzahl sind und zugleich
> Zweierpotenzen sind. Dies beschreibe ich mit [mm]A\cap[/mm] B.
>
> [mm]\* \*[/mm] A [mm]\cap[/mm] B sind genau die Quadratzahlen deren Basis
> eine Zweierpotenz ist.
>
> [mm]\* \* \*[/mm] Wenn x [mm]\in [A\setminus (A\cap[/mm] B)] ist bedeutet
> dies, dass x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) Und das
> bedeutet x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in \neg(A \cap[/mm] B)
>
>
> [mm]\odot[/mm] Seien q,p Aussagen so gilt: p [mm]\wedge [\neg[/mm] p [mm]\vee[/mm] q]=
> (p [mm]\wedge \neg[/mm] p) [mm]\vee[/mm] (p [mm]\wedge[/mm] q)= 0 [mm]\vee[/mm] (p [mm]\wedge[/mm] q)=p
> [mm]\wedge[/mm] q
(Für Äquivalenzen von Aussagen verwendet man üblicherweise [mm] $\gdw$ [/mm] anstelle von $=$.)
> [mm]B\setminus[/mm] A= [mm]B\setminus[/mm] (A [mm]\cap B)=\{x| \exists n \in \IN: x= 2^n \wedge [\forall n \in \IN: x\not=n^2 \vee \forall m\in \IN:n\not=2^m)]\}\overbrace{=}_{\Box} \{x| \exists n \in \IN: x=2^n \wedge \forall m\in \IN:n\not=2^m \}[/mm]
>
> Erklärung:
> [mm]\Box[/mm] Seien s,t, Aussagen so gilt: s [mm]\wedge [t\vee \neg[/mm] s]=
> (s [mm]\wedge[/mm] t) [mm]\vee[/mm] (s [mm]\wedge \neg[/mm] s)= (s [mm]\wedge[/mm] t) [mm]\vee[/mm] 0=s
> [mm]\wedge[/mm] q
Deine Mengen-Gleichungsketten sind korrekt.
Deine vorherigen Charakterisierungen der Mengen gefielen mir aber besser, da sie mir expliziter erscheinen.
Verkürzte Zusammenfassung:
Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt die Äquivalenz
[mm] $n^2\in B\gdw n\in [/mm] B$.
Damit lässt sich
[mm] $A\setminus B=\{n^2\;|\;n\in\IN\setminus B\}$
[/mm]
zeigen.
Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt die Äquivalenz
[mm] $2^n\in A\gdw n\text{ gerade}$.
[/mm]
Damit lässt sich
[mm] $B\setminus A=\{2^n\;|\;n\in\IN_u\}$
[/mm]
zeigen, wobei [mm] $\IN_u$ [/mm] die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen bezeichne.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Di 14.10.2014 | | Autor: | sissile |
Tausend Dank für´s Zusammanfassen der Ergebnisse! Und dass du alle meine Fragen beantwortet hast!
Ebenso an Diophant & Al-Chwarizmi!
Liebe Grüße,
sissie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Diophant!
> > [mm]A\setminus B=A\setminus(A\cap B)=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{x\in B| \exists n \in B: x=n^2\}=\{x|\exists n \in \IN\setminus B : x=n^2\}[/mm]
>
> >
> > Die Menge A besteht aus allen Elemente x sodass [mm]\exists[/mm]
> n
> > [mm]\in \IN: x=n^2.[/mm] Bei der Menge A [mm]\setminus[/mm] B muss ich
> aus
> > der Menge A alle Elemte streichen die Quadratzahl sind
> und
> > zugleich Zweierpotenzen sind. Dies beschreibe ich mit A
> > [mm]\cap[/mm] B.
>
> Das ist jetzt richtig gedacht. Aber mal ganz ehrlich: ist
> dir selbst nicht aufgefallen, dass in deiner obigen
> Notation an keiner Stelle irgendwoe Zweierpotenzen
> auftauchen? Das kann also nicht stimmen!
Zweierpotenzen tauchen implizit mit der Menge $B$ auf.
Obige Gleichungskette ist zwar unübersichtlich, aber korrekt.
> Da geht es ja weniger darum, etwas zu zeigen (der
> Sachverhalt ist einfach). Es geht darum, diesen Sachverhalt
> korrekt zu notieren. Schau jetzt, dass du die Menge B mal
> korrekt notierst, und was ich auch unbedingt vermeiden
> würde (mich verwirrt das beim Lesen total und ich vermute
> auch, dass man es nicht darf, bin mir aber nicht sicher
> damit): den Mengenbuchstabe der Menge, die ich gerade
> definiere innerhalb dieser Definition zu verwenden. Auch
> das machst du mit der Menge B oben.
sissile definiert ja hier keine neue Menge, sondern beschreibt die Menge [mm] $A\setminus [/mm] B$ lediglich.
Ich halte es hier sogar für am übersichtlichsten, da die Menge B zu verwenden.
Falls jemand eine übersichtlichere Lösung hat, würde ich mich wie gesagt freuen, wenn derjenige sie posten könnte.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]A\setminus B=A\setminus(A\cap B)=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{x\in A| \exists n \in B: x=n^2\}=\{x|\exists n \in \IN\setminus B : x=n^2\}[/mm]
Etwas unübersichtliche Schrittfolge, aber völlig korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich würde die letzte Menge umschreiben zu
[mm] $\{n^2\;|\;n\in\IN\setminus B\}$.
[/mm]
Man kann unschön finden, dass die Menge $B$ hier noch auftaucht, aber eine schönere Schreibweise fällt mir auch nicht ein.
Falls jemandem eine schönere Schreibweise einfällt, bitte posten!
> [mm]B\setminus[/mm] A [mm]=B\setminus(A\cap[/mm] B) = [mm]\{2^n | n \in \IN\} \setminus\{x \in A| \exists n \in B:x=n^2\}=\{x | \exists n \in \IN\setminus B : x=2^n\}[/mm]
Das hintere Gleichheitszeichen stimmt nicht.
Ersetze am Ende [mm] $\IN\setminus [/mm] B$ durch die Menge [mm] $\IN_u$ [/mm] der ungeraden natürlichen Zahlen, dann passt es.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]A\setminus B=\{n^2|n\in\IN\}\setminus\{2^n|n\in\IN\}[/mm]
> Ich
> habe eine beliebige Zahl [mm]x\in[/mm] A,
> d.h. [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN:x=n^2[/mm]
> wie erkenne ich nun an der
> Basis n ob es sich bei x um eine Zweierpotenz handelt?
> Du sagst, nur wenn n selbst eine Zweierpotenz ist.
So ist es.
> ----------------------------------
> Sei x [mm]=n^2[/mm] für beliebiges n [mm]\in \IN[/mm]
> Basis [mm]n\in[/mm] B => [mm]x\in[/mm]
> B
> Bew:
> n [mm]\in[/mm] B, d.h. [mm]\exists[/mm] t [mm]\in \IZ:[/mm] n= [mm]2^t[/mm]
> x= [mm]n^2[/mm] = [mm](2^t)^2[/mm] = [mm]2^{2t}[/mm] -> [mm]x\in[/mm] B
> ----------------------------------
Schön!
> Aber erwische ich damit alle Quadratzahlen, die auch
> Zweierpotenzen sind?
Wie Diophant schon schrieb: Ja.
Beweis:
Sei [mm] $n^2\in [/mm] B$.
Zu zeigen ist [mm] $n\in [/mm] B$.
Wegen [mm] $n^2\in [/mm] B$ existiert ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n^2=2^m$.
[/mm]
Also [mm] $n*n=2^m$.
[/mm]
$n$ kann also keine Primfaktoren außer der 2 enthalten.
Also ist $n$ eine Zweierpotenz, d.h. [mm] $n\in [/mm] B$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Bestimme die Menge [mm]A\setminus[/mm] B und [mm]B\setminus[/mm] A für
> [mm]A=\{n^2|n\in\IN\},B=\{2^n|n\in\IN\}[/mm]
> [mm]A\setminus B=\{k\in \IN|(\exists n\in\IN: k=n^2) \wedge (\forall t \in \IN :2^t\not=k)\}[/mm]
Ja.
> Ich habe die Menge der Quadratzahlen und muss für
> [mm]A\setminus[/mm] B alle die Zahlen aus der Menge hinausstreichen,
> die eine Zweierpotenz sind.
Ja.
> Nun möchte ich [mm]A\setminus[/mm] B mehr präzisieren.
> Wie erkenne ich also ob für EIN [mm]x\in[/mm] A auch gilt x [mm]\in[/mm] B
> ?
Guter Ansatz.
> Ich beweise dafür die Aussage: [mm]n\in \IN_g[/mm] => [mm]2^n \in[/mm] A
> Sei n [mm]\in \IN_g[/mm] beliebig
Gute Idee.
Beim Folgenden hat Al-Chwarizmi ja schon darauf hingewiesen, dass du den Buchstaben $k$ in verschiedenen Bedeutungen verwendest.
> [mm]ZZ.:2^n \in[/mm] A dh [mm]\exists k\in\IZ:k^2=2^n[/mm]
Schreibe also hier z.B. [mm] $\exists m\in\IZ\colon m^2=2^n$.
[/mm]
> Nach def.
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ:n=2k[/mm]
> [mm]2^n=2^{2k} =(2^k)^2[/mm]
> Also wähle [mm]k=2^k[/mm] und die Aussage ist gezeigt.
Hier muss es dann [mm] $m=2^k$ [/mm] heißen.
Mit diesen Änderungen passt es!
> Aber gilt die [mm]Rueckrichtung(n\in \IN_g[/mm] <= [mm]2^n \in[/mm] A) auch
> oder gibt es ein Gegenbeispiel?
Ja, diese Rückrichtung gilt auch.
> [mm]2^n \in[/mm] A mit beliebigen n [mm]\in \IN[/mm]
> ZZ.: n [mm]\in \IN_g,[/mm] dh
> [mm]\exists h\in\IZ:n=2h[/mm]
Genau.
> Nach Def. [mm]\exists[/mm] t [mm]\in \IN: 2^n=t^2[/mm]
Ja.
Also [mm] $2^n=t*t$.
[/mm]
t kann also keinen Primfaktor außer der 2 enthalten.
Also hat $t$ die Gestalt [mm] $t=2^h$ [/mm] für ein [mm] $h\in\IN$.
[/mm]
Also gilt [mm] $2^n=t^2=(2^h)^2=2^{2h}$ [/mm] und damit wie gewünscht $n=2h$.
> Ich weiß ja jetzt nur dass wenn ich eine Quadratzahl habe
> [mm]t=n^2[/mm] und n gerade ist, dann kann ich t als Zweierpotenz
> schreiben.
Das stimmt allerdings nicht, wie Al-Charizmi dir gezeigt hat.
Zusammengefasst ist nun gezeigt:
Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt die Äquivalenz:
[mm] $2^n\in A\gdw [/mm] n [mm] \text{ gerade}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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