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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 22.10.2006 | | Autor: | herates |
| Aufgabe | Seien A,B [mm] \subset \IR [/mm] Mengen reeler Zahlen. Beweisen Sie folgende Aussagen.
[mm]
(1)A \subset B \gdw \IR / B \subset \IR / A[/mm]
[mm]
(2)A=A \cup B \gdw B \subset A [/mm] |
zu 1 haben ich mir folgendes überlegt
[mm]\exists x \in A \wedge \exists x \in B[/mm]
[mm]\gdw \exists x \in A \wedge \exist x \in B \wedge \exist y \in \IR /B \wedge \exists y \in \IR /A[/mm]
[mm]\gdw \exist y \in \IR /B \subset \exists y \in \IR /A[/mm] n.V.
wahrscheinlich quatsch
und (2) ist mir zu trivial, ka was ich schreiben soll
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
laß uns erst einmal überlegen, was mit der zu beweisenden Behauptung gemeint ist, dann fällt ein geordneter Beweis leichter.
> Seien A,B [mm] \subset \IR [/mm] Mengen reeler Zahlen. Beweisen Sie
> folgende Aussagen.
>
(1)A [mm] \subset [/mm] B [mm] \gdw \IR [/mm] / B [mm] \subset \IR [/mm] / A
>
Damit ist zweierlei gemeint:
i) A [mm] \subset [/mm] B ==> [mm] \IR [/mm] / B [mm] \subset \IR [/mm] / A
D.h. unter der Voraussetzung, daß A [mm] \subset [/mm] B ist, gilt [mm] \IR [/mm] / B [mm] \subset \IR [/mm] / A,
was wiederum bedeutet, daß jedes Element von [mm] \IR [/mm] / B auch in [mm] \IR [/mm] / A liegt.
ii) [mm] \IR [/mm] / B [mm] \subset \IR [/mm] / A ==> A [mm] \subset [/mm] B
D.h. unter der Voraussetzung, daß [mm] \IR [/mm] / B [mm] \subset \IR [/mm] / A ist, gilt A [mm] \subset [/mm] B, was bedeutet, daß jedes Element von A auch in B liegt.
Erst nach diesen Vorüberlegungen - welche man mit Gewinn bei jeder Art von zu beweisenden Aussagen anstellt, und in welchen sich oft schon der Plan für den Beweis entwickelt - kann der Beweis beginnen.
zui) Sei also A [mm] \subseteq [/mm] B. Das bedeutet ( y [mm] \in [/mm] A ==> [mm] y\in [/mm] B) <==> (*) (y [mm] \not\in [/mm] B ==> y [mm] \not\in [/mm] A)
Sei nun x [mm] \in \IR [/mm] / B
==> x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] x\not\in [/mm] B
==> x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] x\not\in [/mm] A (mit (*))
==> x [mm] \in \IR [/mm] \ A
Also ist [mm] \IR [/mm] / B [mm] \subset \IR [/mm] / A und somit die Behauptung i) bewiesen.
Den Bewies zu ii) wirst du nun sicher selber hinkriegen.
> (2)A=A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] B [mm] \subset [/mm] A
> und (2) ist mir zu trivial, ka was ich schreiben soll
Hier muß ich Dich eindrücklich warnen:
Du solltest niemals gegenüber dem Lehrpersonal, in Hausübungen und Prüfungen u.ä. etwas als trivial bezeichnen, was Du nicht kannst. Es kommt überhaupt nicht gut an, und es lenkt das Augenmerk auf Deine Lücken. "Trivial" - das können sich Überflieger leisten...
Auch hier ist es gut, die Aussage wieder "kleinzuhacken":
zu zeigen ist
i) A=A [mm] \cup [/mm] B ==> B [mm] \subset [/mm] A,
d.h. unter der Voraussetzung, daß A=A [mm] \cup [/mm] B ist, liegt jedes Element von B in A.
ii) B [mm] \subset [/mm] A ==> A=A [mm] \cup [/mm] B,
d.h. unter der Voraussetzung B [mm] \subset [/mm] A ist A=A [mm] \cup [/mm] B,
was wiederum bedeutet, daß
- A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
- A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
Nun schaffst Du es bestimmt.
Gruß v. Angela
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