Mengenabbildung3 < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 12.04.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi, alle.....
Hier hab ich noch eine Aufgabe mit Abbildungen und Mengen, habe auch bereits eine (hoffentlich korrekte) Lösung dazu angefertigt, würde aber es doch gerne bestätigt bzw., wenn nötig, berichtigt bekommen. Ausserdem ist meine Frage auch, weshalb nicht die Gleichheit der beiden Mengen gilt? Man könnte doch genauso nachweisen, dass die rechte Seite Teilmenge der linken Seite ist, und damit wären sie doch gleich, oder kann man das auch? Oder sind die beiden Seiten nicht gleich in dem Fall, wenn irgendeine bestimmte Menge leer ist??
Vielen Dank im Voraus.......
Aufgabe:
Sei [mm] f:A\to [/mm] B eine Abbildung. Zeigen Sie: Für beliebige Mengen [mm] A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2} [/mm] mit [mm] A_{1}, A_{2}\subseteq [/mm] A und [mm] B_{1}, B_{2}\subseteq [/mm] B gilt: [mm] f(A_{1} \cap A_{2})\subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2}) [/mm] .
Beweis:
Sei y [mm] \in f(A_{1} \cap A_{2}). [/mm] Dann gibt es ein x mit y=f(x) und [mm] x\in(A_{1} \cap A_{2}). [/mm] Also ist [mm] x\in A_{1} [/mm] und [mm] x\in A_{2}. [/mm] Somit liegt f(x) in [mm] f(A_{1}) [/mm] und f(x) liegt in [mm] f(A_{2}) [/mm] und damit in [mm] f(A_{1}) \cap f(A_{2}).
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 12.04.2007 | | Autor: | comix |
Aus meiner Sicht ist Dein Beweis richtig, falls [mm] A_{1} \cap A_{2} \not= \emptyset. [/mm] Falls der Durchschnitt leer ist, gilt natürlich die Aussage trivialerweise.
Die umgekehrte Inklusion gilt tatsächlich nicht. Am einfachsten kannst Du das natürlich zeigen, wenn Du [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] disjunkt wählst, aber im Bild von [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] gleiche Elemente vorkommen. Dann ist der Schnitt der beiden Bilder nicht leer. Es geht aber auch, wenn [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] nicht disjunkt sind.
Überleg Dir doch für diese Fälle ein Gegenbeispiel.
(Was wolltest Du eigentlich mit den $ [mm] B_{1}, B_{2} [/mm] $ in der Aufgabenbeschreibung?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 12.04.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, danke schon mal dafür, comix....
$ [mm] B_{1}, B_{2} [/mm] $ ist in der Aufgabenbeschreibung tatsächlich überflüssig, dies ist nämlich eine Teilaufgabe, [mm] B_{1}, B_{2} [/mm] gehört zu einer anderen Teilaufgabe.
Also wähle ich z.B. [mm] A_{1} [/mm] = {1} und [mm] A_{2} [/mm] = {2} ? Aber wie sehen nun die Bilder davon aus? f(1) und f(2) !? Aber der Schnitt der beiden ist doch schon wieder leer oder nicht? Was kann man denn wählen, das das nicht der Fall ist? Die Mengen sollten dann vielleicht mehrere Elemente enthalten, aber welchen Vorteil hat das dann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 12.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also [mm] A_{1}={1} [/mm] und [mm] A_{2}={2}. [/mm] Der Schnitt ist leer. Wenn du nun aber f, so wählst, dass f(1)=f(2), dann ist der Schnitt der Bildmengen nicht leer.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
|
