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| Aufgabe | Wir bezeichnen [mm] \IN := \{1,2,3,...\}[/mm] die Menge der natürlichen Zahlen, und weiter [mm]\IN_0 := \IN \cup \{0\}[/mm]. Es sei 6[mm]\IN := \{6n | n \in IN_0\} = \{0,6,12,18,...\}[/mm]die Menge der durch 6 teilbaren natürlichen Zahlen.
Zeigen Sie, dass das Bild von h:[mm] \IN_0 \rightarrow \IN_0, x \mapsto x^3 - x [/mm]eine Teilmenge von 6[mm]\IN_0[/mm] ist.
Zeigen Sie, dass die Funktion[mm] \tilde h : \IN \rightarrow 6\IN_0 , x \mapsto x^3 - x [/mm]nicht surjektiv, aber injektiv ist. |
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
Bei der ersten Teilaufgabe hab ich gar keine Ahnung, wie ich die Teilmenge zeigen soll. :/
Beim zweiten Teil habe ich mir folgendes überlegt:
Surjektivität: Für y=3 [mm] \in 6\IN_0 [/mm] existiert kein x [mm] \in \IN_0, [/mm] sodas [mm] x^3 [/mm] - x = 3. Damit ist bewiesen, dass die funktion [mm] \tilde [/mm] h nicht surjektiv ist.
Für Injektivität gilt: [mm] x_{1}, x_{2} \in \IN_0 [/mm] mit [mm] {f(x_{1})} [/mm] = [mm] {f(x_{2})}
[/mm]
Gilt dann [mm] x^3 [/mm] - x = [mm] 6y^3 [/mm] - 6y und kann ich damit die Injektivität beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mi 05.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Kevin,
dass das Bild von h eine Teilmenge von [mm] 6\IN [/mm] ist, bedeutet doch nur, dass [mm] x^{3} [/mm] - x durch 6 teilbar sein soll. Wie zeigt man dies? Nun, eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Dass [mm] x^{3} [/mm] - x durch 2 teilbar ist, kriegt man schnell heraus, indem man den Ausdruck für gerades x und für ungerades x untersucht, in beiden Fällen ist das Ergebnis gerade. Die Teilbarkeit durch 3 zeigt man zum Beispiel durch vollständige Induktion.
Dein Gegenbeispiel zur Surjektivität gefällt mir nicht so recht, denn 3 ist kein Element von [mm] 6\IN; [/mm] du solltest Dir ein besseres Gegenbeispiel suchen.
Bleibt die Injektivität. Der Standardweg [mm] x_{1}^{3} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}^{3} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] erscheint nicht so prickelnd. Hier kann ein Argument aus der Analysis helfen: dort lernt man einen Zusammenhang zwischen injektiven und streng monoton steigenden Funktionen und die wiederum entlarven sich über ihre Ableitung.
Gruß
Uli
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