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| Aufgabe | Einem Menge M enthält die Teilmengen X,Y,Z (drei Kreise überlappen sich anschaulich).
a) Geben Sie die Menge aller Punkte an, die in null oder drei der Mengen X,Y,Z liegen.
b) Zeigen Sie die Mengengleichheit von (M [mm] \setminus [/mm] X) [mm] \cup [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] Y) und M [mm] \setminus [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Y)
c) Wie lässt sich b) mithilfe der Aussagenlogik lösen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
momentan bin ich am Anfang meines Informatik-Studiums und komme bei dieser Übungsaufgabe leider nicht weiter:
Mein Ansatz zu a)
(M [mm] \setminus [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \cup [/mm] Z)) [mm] \vee [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \cup [/mm] Z) = {x [mm] \in [/mm] M | x [mm] \notin [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \cup [/mm] Z)} [mm] \vee [/mm] {x [mm] \in [/mm] X,Y,Z}
Kann man so die Oder Verknüpfung darstellen? Ist die Schreibweise insgesamt korrekt?
zu b)
Meiner Meinung nach muss die erste Mengenschreibweise so umgeformt werden, dass man als Ergebnis die zweite erhält. Hat einer eine Idee wie man diese Umformungen durchführen könnte?
zu c)
Das Differenzgesetz könnte man als Distributivgesetz der Aussagenlogik ansehen.
Anschließend würde ich dieses mittels einer Wahrheitstabelle beweisen.
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe!
Gruß
dragon89
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> Einem Menge M enthält die Teilmengen X,Y,Z (drei Kreise
> überlappen sich anschaulich).
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> a) Geben Sie die Menge aller Punkte an, die in null oder
> drei der Mengen X,Y,Z liegen.
>
> b) Zeigen Sie die Mengengleichheit von (M [mm]\setminus[/mm] X) [mm]\cup[/mm]
> (M [mm]\setminus[/mm] Y) und M [mm]\setminus[/mm] (X [mm]\cap[/mm] Y)
>
> c) Wie lässt sich b) mithilfe der Aussagenlogik lösen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
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> momentan bin ich am Anfang meines Informatik-Studiums und
> komme bei dieser Übungsaufgabe leider nicht weiter:
>
> Mein Ansatz zu a)
>
>$ [mm] (M\setminus(X \cupY\cupZ)) \vee (X\cupY \cup [/mm] Z) = [mm] \{x \inM | x \not\in (X \cup Y \cup Z)\}\vee \{x\in X,Y,Z\}$
[/mm]
Du hast recht damit, daß die Elemente, die in keiner der Mengen liegen, in M [mm]\setminus[/mm] (X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\cup[/mm] Z) sind.
Die Elemente, die in allen drei Mengen liegen, sind aber in [mm] X\red{\cap}Y \red{\cap}Z
[/mm]
Für die Elemente x aus M, die in keiner oder in den dreien liegen, gilt also
[mm] x\in [/mm] (M [mm]\setminus[/mm] (X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\cup[/mm] Z)) [mm] \cup (X\red{\cap}Y \red{\cap}Z)
[/mm]
Mal abgesehen davon zur Schreibweise: wenn man Mengen vereinigt, schreibt man [mm] A\cup [/mm] B.
Wenn man sagen will, daß x in A oder in B liegt, schreibt man [mm] x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B.
Also: [mm] x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B ==> [mm] x\in A\cup [/mm] B.
> zu b)
Zu zeigen ist
(M $ [mm] \setminus [/mm] $ X) $ [mm] \cup [/mm] $ (M $ [mm] \setminus [/mm] $ Y) = M $ [mm] \setminus [/mm] $ (X $ [mm] \cap [/mm] $ Y) ,
also eine Mengengleichheit.
Dies tut man, indem man zweierlei zeigt:
i. (M $ [mm] \setminus [/mm] $ X) $ [mm] \cup [/mm] $ (M $ [mm] \setminus [/mm] $ Y) [mm] \subseteq [/mm] M $ [mm] \setminus [/mm] $ (X $ [mm] \cap [/mm] $ Y)
ii. M $ [mm] \setminus [/mm] $ (X $ [mm] \cap [/mm] $ [mm] Y)\subseteq [/mm] (M $ [mm] \setminus [/mm] $ X) $ [mm] \cup [/mm] $ (M $ [mm] \setminus [/mm] $ Y) .
Teilmengenbeziehungen zeigt man, indem man vorrechnet, daß jedes Element der einen Menge auch in der anderen liegt.
zu i.
Sei x\ (M $ [mm] \setminus [/mm] $ X) $ [mm] \cup [/mm] $ (M $ [mm] \setminus [/mm] $ Y)
==>x\ (M $ [mm] \setminus [/mm] $ X) oder [mm] x\in [/mm] (M $ [mm] \setminus [/mm] $ Y)
==> usw.
==> [mm] x\in [/mm] M $ [mm] \setminus [/mm] $ (X $ [mm] \cap [/mm] $ Y)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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