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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mo 30.11.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Seien V,W beliebig dimensionale Vektorräume über dem Körper K und T [mm] \in [/mm] Hom(V,W) surjektiv. Beweisen Sie, dass [mm] \exists [/mm] S [mm] \in [/mm] Hom(W,V) so dass gilt
T [mm] \circ [/mm] S = [mm] id_{w}
[/mm]
Hier bezeichnet [mm] id_{w} [/mm] die identische Abbildung. |
Ich weiss dass ich zwei Fälle betrachten muss:
1) V,W endlich dimensionale Vektorräume
2) oder unendlich dimensional
Hat jemand eine Idee wie ich das zeigen kann?
DAnke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Di 01.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
die unterscheidung zwischen endlich- und unendlich-dimensionalen räumen ist hier gar nicht nötig. wenn du dich in endlich-diemnsionalen räumen wohler fühlst überlege dir die folgenden schritte erstmal für endlich-dimensionale räume. dann kann man annehmen, dass $I = [mm] \{1, ..., n\}$.
[/mm]
sei [mm] $\{b_i\}_{i \in I}$ [/mm] eine basis von $W$. wähle zu jedem [mm] $b_i$ [/mm] ein urbild [mm] $c_i \in [/mm] V$, das heißt ein [mm] $c_i$ [/mm] mit [mm] $T(c_i) [/mm] = [mm] b_i$ [/mm] (warum gibt es sowas?). nun definiere eine lineare abbildung $S: W [mm] \longrightarrow [/mm] V$ mit [mm] $S(b_i) [/mm] = [mm] c_i$ [/mm] (warum gibt es eine lineare abbildung, die soetwas erfüllt?). was gilt nun für $T [mm] \circ [/mm] S$?
grüße
andreas
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