Mengen bestimmen im Intervall < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Di 04.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
| Aufgabe | Ein Intervall in [mm] \IR [/mm] ist eine Teilmenge der Form [a,b]:={x [mm] \in \IR|a\le [/mm] x [mm] \le [/mm] b}, wobei a ≤ b reelle Zahlen sind.
(a) Es sei f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR; [/mm] x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] − 1. Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung folgende Mengen:
f([−1,1]), f([0,2]), f−1([0,1]), f−1(0).
(b) Es sei g : [mm] \IR^{2} [/mm] → [mm] \IR; [/mm] (x, y) [mm] \mapsto [/mm] xy. Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung
folgende Mengen:
g([0, 1] × [0, 1]), g−1({z ∈ R | z > 0}). |
Hallo!
Jetzt stelle ich mal meine erste eigene Frage hier ein 
Meine Mathe-Gruppe und ich sind an der Aufgabe Grade am verzweifeln.
Ich habe absolut keine Idee, was ich tun soll - und wie
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Intervall in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist eine Teilmenge der Form [a,b]:={x
> [mm]\in \IR|a\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b}, wobei a ≤ b reelle Zahlen sind.
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> (a) Es sei f : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR;[/mm] x [mm]\mapsto x^{2}[/mm] − 1.
> Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung folgende Mengen:
> f([−1,1]), f([0,2]), f−1([0,1]), f−1(0).
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> (b) Es sei g : [mm]\IR^{2}[/mm] → [mm]\IR;[/mm] (x, y) [mm]\mapsto[/mm] xy.
> Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung
> folgende Mengen:
> g([0, 1] × [0, 1]), g−1({z ∈ R | z > 0}).
>
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> Hallo!
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> Jetzt stelle ich mal meine erste eigene Frage hier ein
> Meine Mathe-Gruppe und ich sind an der Aufgabe Grade am
> verzweifeln.
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> Ich habe absolut keine Idee, was ich tun soll - und wie
>
>
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fangen wir doch mit Aufg. (a) an.
Gesucht ist f([-1,1]).
Den Graphen von f habt Ihr gezeichnet?
Malt nun den Teil des Graphen, welcher über dem Intervall [-1,1] liegt, farbig an und markiert dann auf der y-Achse, welche Werte vorkommen.
Das markierte intervall auf der y-Achse ist die Menge f([-1,1]), nämlich die Menge, auf welche [-1,1] vermöge f abgebildet wird.
Mit [mm] f^{-1} [/mm] von einer Menge ist das Urbild dieser Menge gemeint.
In [mm] f^{-1}([0,1]) [/mm] sind all diejenigen Zahlen, deren Funktionswerte im Intervall [0,1] liegen.
Ich denke, daß Ihr mit diesen Hinweisen schon ein bißchen weiterkommen werdet.
LG Angela
> Danke!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Edit: Achtung, die Fälligkeit habe ich irgendwie noch
> nicht ganz korrekt eingestellt. Bräuchte so schnell wie
> möglich - noch heute - einen Tipp ;) danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 04.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
Also, wir haben das jetzt so verstanden:
Unsere Zeichnung:
http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/basic.jsp#c=draw_basicgraphequation&v1=y%3Dx%5E2-1&v2=-5&v3=5&v4=-1&v5=1
f(-1) = [mm] (-1)^{2} [/mm] - 1 = 0
f(1) = [mm] 1^{2} [/mm] - 1 = 0
Dementsprechend ist die gesuchte Menge das Intervall von f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 1, x>0 ?
Also [mm] \integral_{-1}^{1}{x^{2}-1} [/mm] ?
Ich/Wir fürchten, dass das falsch ist :-(
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> Also, wir haben das jetzt so verstanden:
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> Unsere Zeichnung:
>
> http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/basic.jsp#c=draw_basicgraphequation&v1=y%3Dx%5E2-1&v2=-5&v3=5&v4=-1&v5=1
Hallo,
>
> f(-1) = [mm](-1)^{2}[/mm] - 1 = 0
f(-0.9)=0.81-1=-0.19
f(-0.8)=0.64=0-.36
[mm] \vdots
[/mm]
f(-0.2)=0.02-1=-0.98
f(-0.1)=0.01-1=-0.99
f(0)=0-1=-1
f(0.1)=-0.99
[mm] \vdots
[/mm]
f(0.9)=-0.19
> f(1) = [mm]1^{2}[/mm] - 1 = 0
f([-1,1]) umfaßt all die Funktionswerte, die rauskommen, wenn man in die Funktion sämtliche Zahlen zwischen -1 und 1 einsetzt.
Exemplarisch hatte ich einige oben aufgezählt.
Insgesamt stellt man fest:
setze ich für x alle Zahlen zwischen -1 und 1 ein, dann kommen für f(x) alle Zahlen zwischen 0 und -1 raus.
Also f([-1,1])=[-1,0].
Übrigens: [a,b] ist die Menge, die alle Zahlen zwischen a und b inkl. der beiden Randpunkte a und b enthält.
Möglicherweise war das bisher nicht klar.
>
> Dementsprechend ist die gesuchte Menge das Intervall von
> f(x) = [mm]x^{2}[/mm] - 1, x>0 ?
???
>
> Also [mm]\integral_{-1}^{1}{x^{2}-1}[/mm] ?
Kinners! Integrale hattet Ihr doch noch gar nicht, oder?
Immer nur das nehmen, was dran war!
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> Ich/Wir fürchten, dass das falsch ist :-(
Ja.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 04.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
Okay, also absolut dran vorbei.
f([-1,1]) => [-1,0]
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, also absolut dran vorbei.
>
> f([-1,1]) => [-1,0]
>
> Ist das so korrekt?
Nein. Sondern f([-1,1]) = [-1,0]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 04.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
Ja, klar. Meinte ich ja. ;)
Und wie wird das dann geschrieben?
f([-1,1]) = { x [mm] \in \IR [/mm] | -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 }
Oder lieber
f([-1,1]) = [-1,0] ?
Vielen Dank!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ja, klar. Meinte ich ja. ;)
>
> Und wie wird das dann geschrieben?
>
> f([-1,1]) = { x [mm]\in \IR[/mm] | -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }
> Oder lieber
> f([-1,1]) = [-1,0] ?
Beides ist O.K.
FRED
>
> Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Di 04.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
Super, ihr habt uns sehr geholfen, vielen Dank!
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