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Forum "Analysis des R1" - Mengen als Intervalle
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Mengen als Intervalle: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Mi 01.05.2013
Autor: gregg

Aufgabe
Stellen Sie die folgende Menge als Vereinigung von Intervallen dar:

A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 }

Ich bräuchte Hilfe beim Einstieg, die eigentliche Rechnung an sich macht mir dann keine Probleme.

Ich mache hier eine Fallunterscheidung mit

x>1 und x<1 :

A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x>1 } [mm] \cup [/mm] { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x<1 }


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mengen als Intervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Mi 01.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Stellen Sie die folgende Menge als Vereinigung von
> Intervallen dar:

>

> A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 }
> Ich bräuchte Hilfe beim Einstieg, die eigentliche
> Rechnung an sich macht mir dann keine Probleme.

>

> Ich mache hier eine Fallunterscheidung mit

>

> x>1 und x<1 :

>

> A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1
> [mm] \wedge [/mm] x>1 } [mm] \cup [/mm] { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm]
> 1 [mm] \wedge [/mm] x<1 }

>

Die Fallunterscheidungen sindf schon richtig, aber es macht keinen Sinn, die Mengen so hinzuschreiben. Es geht schon primär darum, die Lösungsmenge der Ungleichung zu bestimmen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Mengen als Intervalle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mi 01.05.2013
Autor: gregg

[mm] \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 => x [mm] \le -\bruch{1}{2} [/mm]

Also habe ich dann x [mm] \le -\bruch{1}{2}, [/mm] x>1, x<1

[mm] [-\bruch{1}{2},1) \wedge [/mm] x>1

kann man das dann so schreiben:

[mm] [-\bruch{1}{2},\infty), [/mm] mit [mm] x\not=1 [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Mengen als Intervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Mi 01.05.2013
Autor: Marcel

Hi,

> [mm]\bruch{2+x}{1-x} \le[/mm] 1 => x [mm]\le -\bruch{1}{2}[/mm]

wenn Du Mengen [mm] $A=\{x: \;\; x \text{ hat Eigenschaft }E_1\}$ [/mm] und [mm] $B=\{x: \;\; x \text{ hat Eigenschaft }E_2\}$ [/mm]
hast, und dann nur:
[mm] $$\forall [/mm] x [mm] \in A\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;x \text{ hat Eigenschaft }E_2$$ [/mm]
zeigst, hast Du nur $A [mm] \subseteq [/mm] B$ begründet.

Bspw. gilt auch nur [mm] $\{x:\;\; x \ge 0 \text{ und } x^2=9\} \subseteq \{x:\;\;x^2=9\}$\,. [/mm]


> Also habe ich dann x [mm]\le -\bruch{1}{2},[/mm] x>1, x<1
>  
> [mm][-\bruch{1}{2},1) \wedge[/mm] x>1
>  
> kann man das dann so schreiben:
>
> [mm][-\bruch{1}{2},\infty),[/mm] mit [mm]x\not=1[/mm] ?

[haee] Was hast Du denn da gerechnet?
Sinnvoll wäre es, wenn Du
[mm] $$\{x \in \IR:\;\;x \le -1/2\} \cup \{x \in \IR:\;\;x > 1\}$$ [/mm]
schreiben willst... (Nebenbei würde man [mm] $\{x:\;\; ...\text{ und }x \not=1\}$ [/mm] auch als [mm] $\{x:\;\; ...\}\setminus \{1\}$ [/mm]
schreiben...)

Rechnen wir es nochmal:
Es war [mm] $A:=\{x \in \IR:\;\;x \not=1 \wedge \tfrac{2+x}{1-x} \le 1\}\,.$ [/mm]

Es gilt für ($x [mm] \in \IR$ [/mm] mit) $x [mm] \not=1\,,$ [/mm] dass
1. Fall: Sei $x [mm] \le 1\,,$ [/mm] (das kann/darf ich hier so schreiben, weil sowieso
universell $x [mm] \not=1$ [/mm] vorausgesetzt wurde!) also $1-x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann folgt
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \iff [/mm] 2+x [mm] \le [/mm] 1-x [mm] \iff [/mm] x [mm] \le -1/2\,.$$ [/mm]

Also ist hier [mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=(-\infty,-\tfrac{1}{2}] \setminus \{1\}=(-\infty,-\tfrac{1}{2}]\,.$ [/mm]

2. Fall: Sei $x [mm] \ge 1\,$ [/mm] (das kann ich hier schreiben, weil sowieso universell
$x [mm] \not=1$ [/mm] vorausgesetzt wurde; siehe auch 1. Fall!) also $1-x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann folgt
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \iff [/mm] 2+x [mm] \ge [/mm] 1-x [mm] \iff [/mm] x [mm] \ge -\tfrac{1}{2}\,.$$ [/mm]

Also ist hier [mm] $\IL_{\text{2. Fall}}=[1,\infty) \setminus \{1\}=(1,\infty)\,.$ [/mm]

Weil [mm] $\IR=(-\infty,1] \cup [1,\infty)$ [/mm] gilt, haben wir also alle Fälle betrachtet. Es folgt
[mm] $$A=\IL_{\text{1. Fall}} \cup \IL_{\text{2. Fall}}=...$$ [/mm]

P.S.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Inwiefern hilft Dir das Bild?

Gruß,
  Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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