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Mengen Skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Do 27.03.2008
Autor: Toni908

Aufgabe
[mm] a){z\in\IC:|z-i|=2} [/mm]
[mm] b){z\in\IC:|z+i-1|>1} [/mm]
[mm] c){z\in\IC: 1\le|z-1|<2} [/mm]

Hallo,

hier soll ich die Mengen skizzieren.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja die Länge.
der Betrag ist definiert durch [mm] \wurzel{x²+y²} [/mm]

a) |z|-|i|=|z-i|

so richtig weis ich nicht was ich hier machen soll.

LG Toni

        
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Mengen Skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Do 27.03.2008
Autor: leduart

Hallo
> [mm]a){z\in\IC:|z-i|=2}[/mm]
> [mm]b){z\in\IC:|z+i-1|>1}[/mm]
>  [mm]c){z\in\IC: 1\le|z-1|<2}[/mm]
>  Hallo,
>  
> hier soll ich die Mengen skizzieren.
>  
> Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja die Länge.
>  der Betrag ist definiert durch [mm]\wurzel{x²+y²}[/mm]
>  
> a) |z|-|i|=|z-i|

das ist falsch! vergleiche mit deiner Def.
2 Wege: entweder du siehst, das ist die Menge aller pkte, die von i den Abstand 1 haben, oder Du benutzt den Betrag wirklich  mit z=x+iy  :z-i=x+i*(y-1) jetzt Betrag bilden, und =2 setzen, dann hast du die gesuchte Menge im x,y KOOsystem.
entsprechend die anderen Aufgaben!
Gruss leduart

> so richtig weis ich nicht was ich hier machen soll.
>  
> LG Toni


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Mengen Skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 27.03.2008
Autor: Toni908

Hallo,

ich bekomme bei a eine Gleichung mit 2 unbekannten:
x²+2y²-2y+1=4

wie ergibt sich daraus die Menge?

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Mengen Skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Do 27.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Toni,

> Hallo,
>  
> ich bekomme bei a eine Gleichung mit 2 unbekannten:
>   [mm] x²+\red{2}y²-2y+1=4 [/mm]
>  
> wie ergibt sich daraus die Menge?

Ist da nicht die [mm] $\red{2}$ [/mm] zuviel?

Wenn du $z=x+iy$ mal einsetz, kommst du doch auf:

[mm] $|z-i|=|(x+iy)-i|=|x+i(y-1)|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2$ [/mm]

und schließlich quadriert: [mm] $x^2+(y-1)^2=2^2$ [/mm]

Und diese Gleichung sollte dir doch bekannt vorkommen.

Denke an Kreise....

LG

schachuzipus

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Mengen Skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Do 27.03.2008
Autor: Toni908

ja da ist die zwei zuviel, sehe ich auch gerade auf meinem papier. da hab ichs nicht so.

Kreisgleichung ist ja  x²+y²=r

leduart sagte, bei a) wären es die Punkte um i, die den Abstand 1 haben.

wie kann ich aus der gegebenen Gleichung meinen kreis einzeichenen?

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Mengen Skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Do 27.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ja da ist die zwei zuviel, sehe ich auch gerade auf meinem
> papier. da hab ichs nicht so.
>  
> Kreisgleichung ist ja  x²+y²=r

Das wäre die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius [mm] $\sqrt{r}$ [/mm]


Wie sieht eine allg. Kreisgleichung aus?

Welchen Kreis hast du also hier in (a)?

>  
> leduart sagte, bei a) wären es die Punkte um i, die den
> Abstand 1 haben.

Da hat er sich verschrieben und meinte 2 !

>  
> wie kann ich aus der gegebenen Gleichung meinen kreis
> einzeichenen?

wie gesagt, allg. Kreisgleichung mit Mittlepunkt [mm] $M=(x_m/y_m)$ [/mm]

Dann siehst du's

Einfacher bzw. schneller ist leduarts Tipp:

Was bedeutet denn $|z-w|=a$?

Das sind alle die Punkte [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von $w$ genau den Abstand $a$ haben.

Und analog $|z-w|< (>) a$

Die Punkte [mm] $z\in\IC$, [/mm] die näher (weiter) an (weg von) $w$ liegen als $a$

Damit kannst du die ganze Aufgabe direkt ohne zu rechnen lösen ;-)

LG

schachuzipus

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Mengen Skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 Do 27.03.2008
Autor: Toni908

achso,

hatte kreis in der schule nicht, war GK. also hier die allg. kreisgleichung (x-xM)²+(y-yM)²=r²
xM=0
yM=1
r=2

alles klar, nun weis ich wie ich den kreis einzeichnen kann.

LG und Danke, Toni

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Mengen Skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 Do 27.03.2008
Autor: Marcel

Hallo Toni,

nur zum Verständnis:

Eine komplexe Zahl $z=x+i*y$ hat in "Koordinatendarstellung" die Koordinaten $(x,y)$. In diesem Sinne "identifiziert" man auch [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$, [/mm] und daher schreibt man dann einfach:

$z=x+i*y=(x,y) [mm] \in \IC$, [/mm] weil [mm] $\IC$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IR^2$. [/mm]

Du hast oben gesagt:
$|z-i|=2 [mm] \gdw (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ [/mm] mit [mm] $x_M=0$, $y_M=1$ [/mm] und $r=2$.

Ich nehme an, dass Dir der Weg (mit $z=x+i*y$)

$|z-i|=2$ [mm] $\gdw \sqrt{x^2+(y-1)^2}=2 \gdw (x-0)^2+(y-1)^2=2^2$ [/mm] klar ist (falls ihr Kreise in der Schule nicht behandelt habt:
Zeichne mal einen Kreis mit Mittelpunkt [mm] $(x_M,y_M)$ [/mm] und Radius $r$ in den [mm] $\IR^2$, [/mm] dann die Gerade gegeben durch die Gleichung [mm] $y=y_M$ [/mm] und schau', was das ganze mit Pythagoras zu tun haben könnte, siehe auch Anhang!).

Der andere vorgeschlagene Weg ergibt sich einfach:
[mm] $\{z \in \IC:|z-i|=2\}$ [/mm] ist die Menge aller komplexen Zahlen, die den Abstand $2$ von der komplexen Zahl $i$ haben. Die komplexe Zahl $i$ läßt sich schreiben als $i=0+i*1$, hat also "im [mm] $\IR^2$" [/mm] die Koordinaten $(0,1)$. Damit ist dann klar, dass man quasi in der komplexen Ebene einen Kreis mit Radius $2$ um die Zahl $i$, welche die Koordinatendarstellung $(0,1)$ hat, einzeichnet.

Noch eine Anmerkung zu dem Bild unten:
Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinatendarstellung [mm] $(x_M,y_M)$, [/mm] d.h. in der Gaußebene ist der Mittelpunkt einfach die komplexe Zahl [mm] $z_M=x_M+i*y_M$. [/mm]

Damit erkennst Du hoffentlich:
Genau dann liegt $z [mm] \in \IC$ [/mm] auf dem (rotgezeichneten) Kreis, wenn gilt:
[mm] $|z-z_M|=r$ [/mm]

Und geometrisch:
Genau dann liegt $z=x+i*y [mm] \in \IC$ [/mm] auf dem rotgezeichneten Kreis, wenn gilt:
[mm] $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ [/mm] (Pythagoras)

Übrigens bitte aufpassen, dass sich diese Gleichung nicht "einfach" nach $y$ auflösen läßt (denn bei einer Funktionsgleichung darf ein $x$-Wert ja auch nur einen $y$-Wert haben, zumindest, wenn $y=y(x)$).
Was man aber machen kann:
[mm] $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ [/mm]

[mm] $\gdw$ $y=\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}+y_M$ [/mm] oder [mm] $y=-\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}+y_M$ [/mm]

In diesem Sinne läßt sich ein Kreis als Bild der Graphen zweier Funktionen interpretieren, nämlich als Bild von [mm] $f_{1,2}: [x_M-r,x_M+r] \to \IR$ [/mm] definiert durch

[mm] $f_1(x):=y_M+\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}$ [/mm] und [mm] $f_2(x):=y_M-\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}$ [/mm]

P.S.:
Der rotgezeichnet Kreis des folgenden Bildes beschreibt alle Punkte des [mm] $\IR^2$, [/mm] die den Abstand $r=2$ vom Punkt [mm] $(x_M,y_M)=(3,2)$ [/mm] haben, mit anderen Worten:
In der komplexen Zahlenebene wäre das [mm] $\{z \in \IC: |z-z_M|=|z-(3+i*2)|=2\}$ [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß,
Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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