Mengen / Körper - 2 Fragen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Vic |
Ihr seid jetzt meine letzte Hoffnung - kann mir bitte jemand bei den folgenden Aufgaben helfen (Lösung oder Ansätze)? + Erläuterung für Dumme :/
(1)
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] sei eine abzählbare Menge [mm] A_n [/mm] gegeben. Man zeige, dass dann auch die Vereinigung
[Externes Bild http://img45.imageshack.us/img45/1534/mver16ka.png]
abzählbar ist.
(2)
Es sei
[mm] \IQ[ \wurzel{2}] [/mm] := { x [mm] \in \IR [/mm] : x = [mm] a+b*\wurzel{2} [/mm] für a,b [mm] \in \IQ [/mm] }
Man zeige, dass für x,y [mm] \in \IQ[ \wurzel{2}] [/mm] auch
x+y, x*y [mm] \in \IQ[ \wurzel{2}]
[/mm]
und mit der so auf [mm] \IQ[ \wurzel{2}] [/mm] definierten Addition und Multiplikation [mm] (\IQ[ \wurzel{2}], [/mm] + , *) ein Körper ist.
tausend Dank,
Vic
//Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt//
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bei der ersten Aufgabe solltest du mal nach dem Cantorschen Diagonalverfahren googlen.
Zur zweiten Aufgabe: Die Abgeschlossenheit von Addition und Multiplikation sollte klar sein, ebenso wie Null- und Einselemente sowie die additiven Inversen aussehen.
Das einzige "Problem" sind die Inversen der Multiplikation. Es gilt aber:
[mm] $(a+b\sqrt{2}) \cdot \left( \frac{a}{a^2-2b^2} - \frac{b}{a^2-2b^2} \sqrt{2} \right)=1$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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