Mengen Beweis 2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Ich könnte mal den Beweis für fogende Aussage gebrauchen:
O sei eine Menge und S eine Menge von Mengen mit U S [mm] \subseteq [/mm] O
zu zeigen:
1. ) O \ [mm] \bigcap_{i=1}^{n} [/mm] Mi = [mm] \bigcap_{i=1}^{n} [/mm] ( O \ Mi )
2. ) O \ [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] Mi = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] ( O \ Mi )
könnte das sein, dass das zweite dann analog zu dem ersten geht....
aber ich hab leider keine ahnung wie das funktionieren soll...
Also bitte helft mir!!!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hi!
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> Ich könnte mal den Beweis für fogende Aussage gebrauchen:
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> O sei eine Menge und S eine Menge von Mengen mit U S
> [mm]\subseteq[/mm] O
Hallo,
Gegeben ist also eine Obermenge O, und eine Menge von Mengen [mm] S={M_1,...,M_n} [/mm] dergestalt, daß [mm] M_1 \cup M_2 \cup... \cup M_n \subseteq [/mm] O.
Also sind die Mengen [mm] M_i, [/mm] i=1,...,n Teilmengen von O. [mm] M_i \subseteq [/mm] O.
Die Behauptung, wie Du sie stehen hast, wirst Du schwer beweisen können...
Aber das da kann man zeigen.
> 1. ) O \ [mm]\bigcap_{i=1}^{n}[/mm] [mm] M_i [/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n}[/mm] ( O \ [mm] M_i [/mm] )
Wenn man A=B zeigen will, hat man A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A zu zeigen. Wenn man Glück hat geht's in einem Rutsch: x [mm] \in [/mm] A <==> x [mm] \in [/mm] B.
Dieses Glück hat man hier.
Sei x [mm] \in [/mm] O \ [mm] \bigcap_{i=1}^{n}M_i
[/mm]
<==> x [mm] \in [/mm] O und x [mm] \not\in \bigcap_{i=1}^{n}M_i
[/mm]
<==> x [mm] \in [/mm] O und x [mm] \not\in (M_1 \cap M_2 \cap... \cap M_n)
[/mm]
<==> x [mm] \in [/mm] O und (x [mm] \not\in M_1 [/mm] oder x [mm] \not\in M_2 [/mm] oder... x [mm] \not\in M_n)
[/mm]
<==> (x [mm] \in [/mm] O und x [mm] \not\in M_1) [/mm] oder (x [mm] \in [/mm] O und x [mm] \not\in M_2) [/mm] oder...oder (x [mm] \in [/mm] O und x [mm] \not\in M_n) [/mm]
<==> x [mm] \in X\M_1 [/mm] oder x [mm] \in X\M_2 [/mm] oder ... oder x [mm] \in X\M_n
[/mm]
<==> x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n}(X\M_n)
[/mm]
Also ist die Gleichheit gezeigt.
(Wenn man es ganz genau nimmt, müßte man einen Induktionsbeweis draus machen. Ist aber auch kein echtes Problem, wenn Du das da oben verstanden hast.)
> 2. ) O \ [mm]\bigcup_{i=1}^{n}[/mm] [mm] M_i [/mm] = [mm]\bigcap_{i=1}^{n}[/mm] ( O \ [mm] M_i [/mm] )
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> könnte das sein, dass das zweite dann analog zu dem ersten
> geht....
Ja, das ist dasselbe in grün.
Gruß v. Angela
> soll...
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> Also bitte helft mir!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Kati |
Danke... soweit hab ich es kapiert
Aber was ist ein Induktionsbeweis bzw wie würde der aussehen?
Lg von Katrin
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> Danke... soweit hab ich es kapiert
Prima!
> Aber was ist ein Induktionsbeweis
Das ist ein Beweis mit vollständiger Induktion.
Man zeigt zunächst die Behauptung für n=1.
Anschließend zeigt man - unter der Voraussetzung, daß sie für alle n gilt - die Gültigkeit der Behauptung für n+1. Woraus man schließen kann, daß sie für alle n gilt.
In diesem speziellen Fall wäre beim Induktionsanfang zu zeigen, daß O \ $ [mm] \bigcap_{i=1}^{1} [/mm] $ $ [mm] M_i [/mm] $ = $ [mm] \bigcup_{i=1}^{1} [/mm] $ ( O \ $ [mm] M_i [/mm] $ ) gilt, was keine besondere Kunst ist.
Im nächsten Schritt würde man davon ausgehen, daß O \ $ [mm] \bigcap_{i=1}^{n} [/mm] $ $ [mm] M_i [/mm] $ = $ [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] $ ( O \ $ [mm] M_i [/mm] $ ) richtig ist und zeigen, daß unter dieser Voraussetzung
O \ $ [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1} [/mm] $ $ [mm] M_i [/mm] $ = $ [mm] \bigcup_{i=1}^{n+1} [/mm] $ ( O \ $ [mm] M_i [/mm] $ ) stimmt.
Sooooo schwierig ist das nicht, wenn man weiß, daß [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1}M_i [/mm] = ( [mm] \bigcap_{i=1}^{n}M_i [/mm] ) [mm] \cap M_{n+1} [/mm] ist.
Aber wie gesagt: eigentlich glaube ich nicht, daß Du das unbedingt so machen sollst.
Gruß v. Angela
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