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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Leon8 |
| Aufgabe | | Seien A und B Mengen. Zeigen sie : [mm] \mathcal{P} [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \mathcal{P} [/mm] (A) [mm] \cap \mathcal{P} [/mm] (B) |
Jetzt gehts fröhlich für mich weiter:)
Meine Lösung:
Sei x [mm] \in \mathcal{P} [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B). Daraus folgt, dass x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B ist.
Sei nun x [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (A). Daraus folgt, dass x [mm] \in [/mm] A ist. Sei nun x [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (B). Daraus folgt, dass x insbesondere [mm] \in [/mm] B ist. x ist folglich sowohl
[mm] \in [/mm] A als auch [mm] \in [/mm] B. Laut Voraussetzung gilt dann x [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (A) [mm] \cap \mathcal{P} [/mm] (B)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 09.11.2013 | | Autor: | valoo |
> Seien A und B Mengen. Zeigen sie : [mm]\mathcal{P}[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) =
> [mm]\mathcal{P}[/mm] (A) [mm]\cap \mathcal{P}[/mm] (B)
>
> Jetzt gehts fröhlich für mich weiter:)
>
> Meine Lösung:
>
> Sei x [mm]\in \mathcal{P}[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B). Daraus folgt, dass x [mm]\in[/mm]
> A und x [mm]\in[/mm] B ist.
[mm] \in [/mm] schon mal garnicht, die Elemente von der Potenzmenge sind Teilmengen, nicht Elemente.
>
> Sei nun x [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (A). Daraus folgt, dass x [mm]\in[/mm] A
> ist. Sei nun x [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (B). Daraus folgt, dass x
> insbesondere [mm]\in[/mm] B ist. x ist folglich sowohl
> [mm]\in[/mm] A als auch [mm]\in[/mm] B. Laut Voraussetzung gilt dann x [mm]\in \mathcal{P}[/mm]
> (A) [mm]\cap \mathcal{P}[/mm] (B)
Und was tust du hier? Du nimmst ein Element der rechten Seite und zeigst, dass es in der rechten Seite ist? Damit hast du nichts gezeigt. Du musst eine Teilmenge von A nehmen, die auch Teilmenge von B ist, dann ist sie natürlich Teilmenge von $ A [mm] \cap [/mm] B $, also ein Element der linken Seite.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Leon8 |
Ehrlich net....
Also, nochmal systematisch, damit ich verstehe, was sich hinter all dem verbirgt( wenn ich da was falsch mache, gleich losbrüllen:) :
Zeigen soll ich ja folgendes: A = B.
Eine Aussage A= B ist wahr, wenn gilt: A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A.
Anwendung:
1te Inklusion: Sei nun x [mm] \subseteq [/mm] von $ [mm] \mathcal{P} [/mm] $ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B). Dann ist ja x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B. Sei nun x [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] \mathcal{P} [/mm] $ (A) $ [mm] \cap \mathcal{P} [/mm] $ (B). Dann ist ja x [mm] \in [/mm] A und [mm] \in [/mm] B, folglich x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B. A [mm] \cap [/mm] B ist ja nach Voraussetzung [mm] \subseteq [/mm] von $ [mm] \mathcal{P} [/mm] $ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B)
2te I.: Verläuft doch analog, oder?
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> Zeigen soll ich ja folgendes: A = B.
Hallo,
nein, Du sollst doch zeigen
[mm] P(A\cap B)=P(A)\cap [/mm] P(B) .
>
> Eine Aussage A= B ist wahr, wenn gilt: A [mm]\subseteq[/mm] B und B
> [mm]\subseteq[/mm] A.
Ja.
Also ist zum Beweis von [mm] P(A\cap B)=P(A)\cap [/mm] P(B) zu zeigen
1. [mm] P(A\cap B)\subseteq P(A)\cap [/mm] P(B)
2. [mm] P(A)\cap [/mm] P(B) [mm] \subseteq P(A\cap [/mm] B)
>
> Anwendung:
Beweis:
>
> 1te Inklusion: Sei nun x [mm]\subseteq[/mm] von [mm]\mathcal{P}[/mm] (A [mm]\cap[/mm]
> B).
Nein. Man muß zeigen, daß jedes Element (!!!) der ersten Menge auch in der zeiten ist.
Sei also [mm] x\green{\in}P(A\cap [/mm] B).
Welche Elemente sind in der Potenzmenge von [mm] A\cap [/mm] B? Alle Teilmengen von [mm] A\cap [/mm] B.
Also ist [mm] x\subseteq A\cap [/mm] B.
(Wenn x eine Teilmenge des Schnittes ist, muß x eine Teilmenge beider Mengen sein.)
==> [mm] x\subseteq [/mm] A und [mm] a\subseteq [/mm] B
==> [mm] x\in [/mm] ... und [mm] x\in [/mm] ...
==> [mm] x\in [/mm] ...
Du mußt Dich mit den Begriffen Element und Teilmenge genau beschäftigen und diese deutlich unterscheiden.
Nun mach die Rückrichtung.
LG Angela
> Dann ist ja x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B. Sei nun x [mm]\subseteq[/mm]
> [mm]\mathcal{P}[/mm] (A) [mm]\cap \mathcal{P}[/mm] (B). Dann ist ja x [mm]\in[/mm] A
> und [mm]\in[/mm] B, folglich x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B. A [mm]\cap[/mm] B ist ja nach
> Voraussetzung [mm]\subseteq[/mm] von [mm]\mathcal{P}[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)
>
> 2te I.: Verläuft doch analog, oder?
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