Mengen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Zeigen Sie:
(i) A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
... |
Hallo,
ich habe jetzt gerade mit dem ersten Semester angefangen.
Wir sollen also jeden Schritt aufschreiben.
Da ich sowas noch nie bewiesen habe, bin ich mir jetzt nicht sicher, ob sowas ein Beweis ist, oder nicht.
Ich schreibe meinem "vll. Beweis" mal auf:
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
= {x [mm] \in [/mm] A} [mm] \wedge [/mm] {x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C}
= {x [mm] \in [/mm] A} [mm] \wedge [/mm] ({x [mm] \in [/mm] B} [mm] \vee [/mm] {x [mm] \in [/mm] C})
= ({x [mm] \in [/mm] A} [mm] \wedge [/mm] {x [mm] \in [/mm] B}) [mm] \vee [/mm] ({x [mm] \in [/mm] A} [mm] \wedge [/mm] {x [mm] \in [/mm] C})
= (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank für Antworten/Tipps, was ich falsch bzw. richtig gemacht habe.
Stefan
|
|
| |
|
> Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Zeigen Sie:
> (i) A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> ...
> Hallo,
> ich habe jetzt gerade mit dem ersten Semester angefangen.
> Wir sollen also jeden Schritt aufschreiben.
> Da ich sowas noch nie bewiesen habe, bin ich mir jetzt
> nicht sicher, ob sowas ein Beweis ist, oder nicht.
> Ich schreibe meinem "vll. Beweis" mal auf:
Hallo,
in dem, was Du schreibst, steckt alles drin, was benötigt wird, Du hast das im Prinzip richtig gemacht.
Aufschreiben würde man es etwas anders (s.u.)
Zu zeigen ist ja
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C),
also die Gleichheit zweier Mengen.
Dies beinhaltet zweierlei:
i. A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
und
ii. (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
Solche Teilmengenbeziehungen zeigt man elementweise, dh. es ist zu zeigen
i. [mm] x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) ==> [mm] x\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
und
ii. [mm] x\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) ==> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
Nun zu i., also [mm] "\subseteq"
[/mm]
Zu zeigen: [mm] x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) ==> [mm] x\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
Beweis:
Sei [mm] \green{x\in A \cap (B \cup C)}
[/mm]
==>
> (x [mm]\in[/mm] A)[mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
[nach Def. der Schnittmenge]
==>
> (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] ((x [mm]\in[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] C))
[nach Def. der Vereinigungsmenge]
==>
> (x [mm]\in[/mm] A[mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] C)
[Distributibgesetz)]
==>
[mm] x\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\vee[/mm] [mm] (x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] C)
[Def. der Schnittmenge]
[mm] \green{==>}
[/mm]
[mm] \green{x\in (A \cap B) \cup (A \cap C)}
[/mm]
[Def. der Vereinigungsmenge]
Damit ist die Beh. i. gezeigt.
Die Rückrichtung ii. kannst Du nun ganz ähnlich aufschreiben.
Denke daran, jeden Schritt zu begründen, das wird von Dir erwartet, und es ist wichtig.
Du könntest hier mit Äquivalenzpfeilen arbeiten, und es spricht nichts dagegen, das für die Abgabe mit diesen aufzuschreiben.
Ich wäre aber am Anfang vorsichtig, ein Äquivalenzpfeil ist leicht vorschnell gesetzt.
Ich würde ins Unreine auf jeden Fall beide Richtungen gründlich überlegen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hi und vielen Dank für die schnelle Antwort.
Eine Frage hätte ich aber noch zu der Antwort.
Warum muss man da mit Folgepfeilen bzw. Äquivalenzpfeilen arbeiten und nicht mit Gleichheitszeichen?
Stefan
|
|
|
| |
|
> Warum muss man da mit Folgepfeilen bzw. Äquivalenzpfeilen
> arbeiten und nicht mit Gleichheitszeichen?
Hallo,
mit dem "Muss" ist das so eine Sache...
Man könnte sicher auch A $ [mm] \cap [/mm] $ (B $ [mm] \cup [/mm] $ C) schreiben als
A $ [mm] \cap [/mm] $ (B $ [mm] \cup [/mm] $ [mm] C)=\{x\in X | x\in A und x\in (B \cup C) \} [/mm] und in diesem Stile fortfahren.
Was man keinesfalls darf:
A $ [mm] \cap [/mm] $ (B $ [mm] \cup [/mm] $ C) = [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] (B $ [mm] \cup [/mm] $ C),
denn hier hat man links eine Menge, die rechte Seite hingegen erzählt was über ein Element x.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
