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Hallo zusammen.
Ich habe ein Verständnisproblem mit folgender Aufgabe:
[mm] \bigcup_{m\in\IZ\{0}} [/mm] {x [mm] \in \IR|mx \in \IN}
[/mm]
mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, was das [mm] m\in\IZ\{0} [/mm] unter dem Vereinigungszeichen bedeuten soll!!!
Ich würde die Aufgabe jetzt folgendermaßen beschreiben:
Vereinigungsmenge der Zahlen m mit dem Element der ganzen Zahlen außer Null. x mit dem Element der reellen Zahlen und der Eigenschaft, dass mx Element der Natürlichen Zahlen ist.
Aber was ich jetzt genau machen ist ist mir unklar.
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> Hallo zusammen.
> Ich habe ein Verständnisproblem mit folgender Aufgabe:
> [mm] \bigcup_{m\in\IZ \\{0\}} \{x \in \IR|mx \in \IN\}
[/mm]
> mein Problem
> ist, dass ich nicht genau weiß, was das [mm]m\in\IZ\{0}[/mm] unter
> dem Vereinigungszeichen bedeuten soll!!!
Hallo,
das ist so ähnlich wie bei Summenzeichen. Es ist ja [mm] \summe_{i\in \{1,2,3}}k^2=1^2+2^2+3^2.
[/mm]
In Deiner Aufgabe umfaßt die Indexmenge alle ganzen Zahlen mit Ausnahme der Null.
Zu vereinigen sind Mengen der Machart [mm] \{x \in \IR|mx \in \IN\}, [/mm] fürs m muß jedes Elemnt der Indexmenge eingesetzt werden und die ganzen Mengen dann vereinigt:
[mm] \bigcup_{m\in\IZ \backslash \{0\}} \{x \in \IR|mx \in \IN\}
[/mm]
= [mm] ...\cup [/mm] {x [mm] \in \IR|-3x \in \IN\}\cup [/mm] {x [mm] \in \IR|-2x \in \IN\}\cup [/mm] {x [mm] \in \IR|-1x \in \IN\}\cup [/mm] {x [mm] \in \IR|x \in \IN\}\cup [/mm] {x [mm] \in \IR|2x \in \IN\}\cup [/mm] {x [mm] \in \IR|3x \in \IN\}\cup [/mm] ...
Nun sollst Du sicher sagen, ob man diese Menge noch einfacher schreiben kann.
Gruß v. Angela
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Nein ich sollte iegentlich nur die Menge bestimmen.
Allerdings krieg ich das alles ein bischen blöd mit den Zeichen hier hin. Also die Aufgabe lautet folgenderweise:
Unter dem Zeichen der Vereinigung steht { m [mm] \in \IZ [/mm] \ {0} }.
Neben dem Zeichen der Vereinigung steht dann { x [mm] \in \IR [/mm] | mx [mm] \in \IN [/mm] }
Ist das dann das selbe Prinzip wie in der Antwort davor???
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Nein ich sollte iegentlich nur die Menge bestimmen.
Na, was heißt hier "nur"?
> Allerdings krieg ich das alles ein bischen blöd mit den
> Zeichen hier hin. Also die Aufgabe lautet folgenderweise:
> Unter dem Zeichen der Vereinigung steht { m [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} }.
> Neben dem Zeichen der Vereinigung steht dann { x [mm]\in \IR[/mm] | mx [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Ist das dann das selbe Prinzip wie in der Antwort davor???
Ich hab' das schon richtig kapiert.
In meiner Antwort habe ich Dir aufgeschreiben, was - ah! jetzt seh' ich's: der Formeleditor... ich korrigiere es gleich.
Also anders: in meiner Antwort wollte ich Dir aufgeschrieben haben, was sich hinter der Abkürzung $ \bigcup_{m\in\IZ \ \{0\}} \{x \in \IR|mx \in \IN\} $ verbirgt, nämlich diese lange Vereinigung v. Mengen.
Was das für eine Menge ist, mußt Du noch herausfinden. Ist \wurzel{2} drin?
Gruß v. Angela
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Gut ich probiers mal.
Also wenn ich { m [mm] \in \IZ [/mm] \ {0} } habe, dann bedeutet das ja, dass { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \IZ [/mm] \ {0} * x [mm] \in \IN} [/mm] ist. Das bedeutet, dass x Element der Reellen Zahlen die Eigenschaft besitzen muss, dass eine Ganze Zahl außer Null mal x mit dem Element der Natürlichen Zahlen eine Reelle Zahl ergeben muss. Die Ganze Zahl -1* der Natürlichen Zahl 1 z.B. ergibt aber keine Reelle Zahl sondern wieder eine Ganze.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gut ich probiers mal.
> Also wenn ich { m [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} } habe,
Hallo,
Deine Frage ist recht knapp formuliert...
Gruß v. Angela
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Nein das war nicht meine Absicht, Mein PC hat ein Abgang gemacht Sorry
 .
Also wenn ich { m [mm] \in \IZ [/mm] \ {0} } habe, dann bedeutet das ja, dass { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \IZ [/mm] \ {0} * x [mm] \in \IN} [/mm] ist. Das bedeutet, dass x Element der Reellen Zahlen die Eigenschaft besitzen muss, dass eine Ganze Zahl außer Null mal x mit dem Element der Natürlichen Zahlen eine Reelle Zahl ergeben muss. Die Ganze Zahl -1* der Natürlichen Zahl 1 z.B. ergibt aber keine Reelle Zahl sondern wieder eine Ganze.
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> Also wenn ich { m [mm] \in \IZ\ [/mm] {0} } habe, dann bedeutet das
> ja, dass{ x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \IZ\ [/mm] {0} * x [mm] \in \IN [/mm] } ist.
Ich kann nicht verstehen, was Du hier schreibst. Was soll das für eine Menge sein?
Ist [mm] \IZ [/mm] \ {0} * x irgendwo definiert?
Wir hatten doch schon festgestellt, daß Deine große Vereinigung die Vereinigung vieler kleiner Mengen ist.
Nun schauen wir uns mal eine von denen an, z.B. die für m=17.
[mm] M_{17}=\{x\in \IR | 17*x \in \IN\}.
[/mm]
Welche Zahlen sind denn da drin?
Ist 5 drin? -7? 0? [mm] \bruch{3}{4}?-\wurzel{2}? \bruch{30}{17}?
[/mm]
Sag ein paar Beispiele für Zahlen, die drin sind, und versuch dann eine allgemeine Formulierung.
Wenn Du das hinbekommen hast, kannst Du über die Vereinigung der Mengen nachdenken.
Gruß v. Angela
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Okay also mein Problem liegt glaube ich darin, dass ich einfach nicht weiß was die schreibweise { x [mm] \in \IR [/mm] | ...} bedeuten soll!!! Bisher hatte ich sowas immer dargestellt in { x | ...}
was bedeutet jetzt die andere Schreibweise???
Ist das jetzt x [mm] \in \IR [/mm] mit der Eigenschaft (Wenn wir M=17 nehmen) 17 * x [mm] \in \IN??? [/mm] Heißt das ich muss mir eine Zahl für x suchen, die Reell und Natürlich ist??? oder Muss die Natürliche Zahl *17 eine Reelle Zahl ergeben??? Denn wenn ich eine Natürliche Zahl (zählen wir mal die Null mit) * 17 multipliziere, komme ich ja nicht auf eine Reelle Zahl, da die Reellen Zahlen ja die Bruchzahlen sind (irrationalen Zahlen).
Ich würde jetzt mal sagen, dass nur [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und [mm] -\wurzel{2} [/mm] drin liegt, da dies Reelle Zahlen sind. Sollte das falsch sein dann liegt das an der Schreibweise, da ich diese nicht verstehe.
Tut mir echt leid wegen den umständen.
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> Okay also mein Problem liegt glaube ich darin, dass ich
> einfach nicht weiß was die schreibweise { x [mm] \in \IR| [/mm] 17 * x [mm] \in \IN} [/mm] bedeuten soll
Hallo,
"x [mm] \in \IR" [/mm] : in der Menge liegen reelle Zahlen
" | " : mit der Eigenschaft
"17 * x [mm] \in \IN": [/mm] wenn man sie mit 17 multipliziert, kommt eine natürliche Zahl heraus.
[mm] \bruch{3}{4} [/mm] ist nicht in dieser Menge. Zwar ist [mm] \bruch{3}{4} [/mm] reell, jedoch ist [mm] \bruch{3}{4}*17 [/mm] keine natürliche Zahl.
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{17} [/mm] ist nicht in dieser Menge. Zwar ist [mm] \bruch{\wurzel{3}}{17} [/mm] reell, jedoch ist [mm] \bruch{\wurzel{3}}{17}*17=\wurzel{3} [/mm] keine natürliche Zahl.
2 ist in dieser Menge, denn 2 ist reell und 17*2=34 natürlich.
> komme ich ja nicht auf eine Reelle Zahl, da
> die Reellen Zahlen ja die Bruchzahlen sind (irrationalen
> Zahlen).
Ogottogott!
Informiere Dich mal bitte kurz über [mm] \IN, \IZ, \IQ, \IR [/mm] und die Teilmengenbeziehungen.
Nenne für jede Menge einen typischen Vertreter, welcher in der vorhergehenden nicht enthalten ist.
Wie kannst Du mithilfe obiger Mengen die irrationalen Zahlen beschreiben?
Welche Menge ist die Menge der rationalen Zahlen?
Gruß v. Angela
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Also die Natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen. Mit der Null ergibt das {0,1,2,3,4,5,6,7...}
anschließend kommen die Ganzen Zahlen. diese erweitern die natürlichen um negative Zahlen {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
Die Rationalen sind die Bruchzahlen (positiven und negativen) also z.B. [mm] {...\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},\bruch{3}{3}...}
[/mm]
Die reellen Zahlen sind die unendlichen, nich periodischen und demzufolge nicht als Bruch darstellbaren Zahlen (positiven und negativen). Also z.B. [mm] {...\wurzel{2},\wurzel{3}...}
[/mm]
Gut okay jetzt habe ich es endlich verstanden. Ich schreibe es mal in Worten (hoffe das geht wenigstens gut).
Mein x muss in der Menge der reellen Zahlen liegen und mit z.B. 17 multipliziert eine natürliche Zahl ergeben.
Ich kann also darauf schließen, dass Zahlen wie {...1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...} auch reelle Zahlen sind, wenn ich das richtig verstehe.
Gut dann wären also alle reellen Zahlen multipliziert mit 17 in der gesuchten Menge, vorrausgesetzt sie ergeben eine Natürliche Zahl.
Also kann ja nur die Teilmenge der Reellen Zahlen, die auch Natürliche Zahlen sind eine Natürliche Zahl ergeben. denn alles andere würde ja eine Ganze Zahl, Bruchzahl, eine irrationale oder rationale Zahl ergeben.
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> Also die Natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen
> Zahlen. Mit der Null ergibt das {0,1,2,3,4,5,6,7...}
> anschließend kommen die Ganzen Zahlen. diese erweitern die
> natürlichen um negative Zahlen {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
> Die Rationalen sind die Bruchzahlen (positiven und
> negativen) also z.B.
> [mm]{...\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},\bruch{3}{3}...}[/mm]
Hallo,
bis hier ist's o.k.
> Die reellen Zahlen sind die unendlichen, nich periodischen
> und demzufolge nicht als Bruch darstellbaren Zahlen
> (positiven und negativen). Also z.B.
> [mm]{...\wurzel{2},\wurzel{3}...}[/mm]
zuzüglich die rationalen. Alle rationalen Zahlen sind in [mm] \IR, [/mm] ich hoffe, daß Dir das klar ist.
> Gut okay jetzt habe ich es endlich verstanden. Ich
> schreibe es mal in Worten (hoffe das geht wenigstens gut).
> Mein x muss in der Menge der reellen Zahlen liegen
Ja.
und mit
> z.B. 17 multipliziert eine natürliche Zahl ergeben.
Genau.
> Ich kann also darauf schließen, dass Zahlen wie
> {...1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...} auch reelle Zahlen sind, wenn
> ich das richtig verstehe.
Schließen? Nakja, jedenfalls sind die ganzen Zahlen reell und auch die Brüche.
> Gut dann wären also alle reellen Zahlen multipliziert mit
> 17 in der gesuchten Menge, vorrausgesetzt sie ergeben eine
> Natürliche Zahl.
Ja, diejenigen der reellen Zahlen, welche.
> Also kann ja nur die Teilmenge der Reellen Zahlen, die
> auch Natürliche Zahlen sind eine Natürliche Zahl ergeben.
> denn alles andere würde ja eine Ganze Zahl, Bruchzahl, eine
> irrationale oder rationale Zahl ergeben.
Nein. Da hast Du nicht bis zum Ende gedacht. Es gibt durchaus Brüche, die mit 17 multipliziert natürliche Zahlen ergeben.
Gruß v. Angela
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Ja klar irgendwo gibt es vielleicht welche. Hab jetzt aber nicht alle ausprobiert. Aber um zu zeigen, dass ich es halbwegs verstanden habe, hier ein paar Zahlen, die meiner Meinung nicht richtig sind:
zunächst alle negativen ganzen Zahlen. Denn diese ergeben multipliziert mit 17 eine negative Zahl und somit nicht eine Natürliche
Für die positiven sind dies z.B.
[mm] \wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel{6},\wurzel{7},\wurzel{8},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3} [/mm] usw.
Die Zahlen die richtig sind wären z.B.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.... aber auch nicht ganze positive Zahlen, welche multipliziert mit 17 eine Natürliche ergeben.
Aber wie sieht das jetzt für die Vereinigungsmenge aus???
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> Die Zahlen die richtig sind wären z.B.
> 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.... aber auch nicht
> ganze positive Zahlen, welche multipliziert mit 17 eine
> Natürliche ergeben.
Hallo,
hier berührst Du einen Punkt, welcher für die Lösung der Aufgabe wesentlcih ist.
Welche Zahlen sind das? Wie sehen die aus?
Gruß v. Angela
> Aber wie sieht das jetzt für die Vereinigungsmenge aus???
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Na ich schätze mal die Natürlichen Zahlen bzw. die Reellen zahlen, da die Natürlichen Zahlen ja Teilmengen von Reellen Zahlen sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Na ich schätze mal die Natürlichen Zahlen bzw. die Reellen
Dieses bzw. ist ein schlimmer Fehler. wenn ich die Menge der Mathestudenten deiner Uni beschreiben will, dann sind sie doch Teilmenge aller Studenten deiner Uni, und Teilmenge der Einwohner von Deutschland.
Wenn ich jetzt sage die Menge der matestud, deiner Uni sind die Einwohner Deutschlands, wär das doch ziemlich falsch:
Du darfst für die 17 (die ja nur eins von deinen m s ist) nur die positiven ganzen Zahlen und die (gekürzten Brüche der Form p/17 nehmen, p natürliche Zahl.
dann nimmst du noch ein paar andere m s dazu msoll ja ne ganze Zahl sein, also etwa -3 dann kommen alle negetiven ganzen Zahlen und die neg. Brüche mit 3 im Nenner dazu.
jetzt sollst du die Mengen mit m= alle möglichen ganze Zahlen nehmen, was für Zahlen sind jetzt garantiert nicht dabei, egal welches ganze m du nimmst?
Diese Zahlen alle zusammen kennst du unter einem Namen. den sollst du finden!
Gruss leduart
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Okay alles klar!
Also das müsste für m=1 {1,2,3,4,5,6,7,8,9...} sein.
Für m=2 [mm] {\bruch{1}{2},1,\bruch{3}{2},2,\bruch{5}{2}...}.
[/mm]
Für m=3 [mm] {\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},1,\bruch{4}{3}...}.
[/mm]
Für m=4 [mm] {\bruch{1}{4},\bruch{2}{4},\bruch{3}{4},1,\bruch{5}{4}...}.
[/mm]
usw.
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> Okay alles klar!
> Also das müsste für m=1 {1,2,3,4,5,6,7,8,9...} sein.
> Für m=2 [mm]{\bruch{1}{2},1,\bruch{3}{2},2,\bruch{5}{2}...}.[/mm]
> Für m=3 [mm]{\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},1,\bruch{4}{3}...}.[/mm]
> Für m=4
> [mm]{\bruch{1}{4},\bruch{2}{4},\bruch{3}{4},1,\bruch{5}{4}...}.[/mm]
> usw.
Ja, wenn die Null bei Euch nicht mit in [mm] \IN [/mm] ist, ist das so, sonst kommt sie übrall noch dazu.
Nun mußt Du bedenken, daß Du die entsprechenden Mengen für sämtliche [mm] m\in \IZ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] bildest, und diese dann vereinigen.
Gruß v. Angela
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gut aber das wären ja dann für die Vereinigungsmenge ganz schön viele.
Im Prinzip habe ich ja für z.B. m=1 nichts anderes gemacht als:
[mm] \bruch{0}{1},\bruch{1}{1},\bruch{2}{1},\bruch{3}{1},...
[/mm]
und für z.B. m=2 nichts anderes als:
[mm] \bruch{0}{2},\bruch{1}{2},\bruch{2}{2},\bruch{3}{2},\bruch{4}{2},...
[/mm]
Kann ich dann die Vereinigungsmenge auch irgendiwe darstellen als { [mm] \bruch{\IN}{m} [/mm] }
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> gut aber das wären ja dann für die Vereinigungsmenge ganz
> schön viele.
> Im Prinzip habe ich ja für z.B. m=1 nichts anderes gemacht
> als:
> [mm]\bruch{0}{1},\bruch{1}{1},\bruch{2}{1},\bruch{3}{1},...[/mm]
> und für z.B. m=2 nichts anderes als:
>
> [mm]\bruch{0}{2},\bruch{1}{2},\bruch{2}{2},\bruch{3}{2},\bruch{4}{2},...[/mm]
> Kann ich dann die Vereinigungsmenge auch irgendiwe
> darstellen als [mm] \{\bruch{\IN}{m}\} [/mm]
Hallo,
Du meinst schon das Richtige.
Welche Menge ist denn das, die die Zahlen enthält, die man als n/m schreiben kann mit [mm] n\in \IN [/mm] und m [mm] \in \IZ [/mm] \ [mm] \{0\}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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Na im Prinzip die Menge aller positiver Bruchzahlen.
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> Na im Prinzip die Menge aller positiver Bruchzahlen.
Du bist nah dran, aber bedenke: für m waren auch negative Zahlen zugelassen.
Gruß v. Angela
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Okay dan müsste ich dazu noch eine Eigenschaft angeben.
Wie wäre es mit x = [mm] \bruch{n}{m} [/mm] { x [mm] \in \IR [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] , m [mm] \in \IR [/mm] \ {0} }
Kännte ich so die gesuchte Menge angeben???
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Okay dan müsste ich dazu noch eine Eigenschaft angeben.
> Wie wäre es mit x = {[mm]\bruch{n}{m}[/mm][mm]\in \IR[/mm] | n [mm]\in \IN[/mm] ,
> m [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} }
> Kännte ich so die gesuchte Menge angeben???
Hallo,
das wäre auf jeden Fall richtig, aber man wird von Dir wissen wollen, welche Menge das ist. Man kann die sehr kurz schreiben.
Gruß v. Angela
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Na im Prinzip vereinigt die Menge ja alle Zahlen von den Natürlichen (mit Null) bis zu den Reellen. Somit würde ich sagen { [mm] {\IR} [/mm] }
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> Na im Prinzip vereinigt die Menge ja alle Zahlen von den
> Natürlichen (mit Null) bis zu den Reellen.
Ogottogott.
Zunächst etwas Prinzipielles: 2 ist auch eine reelle Zahl, ist Dir das klar?
Dann: Du erzählst mir gerade, daß [mm] \wurzel{2} [/mm] auch in Deiner Menge liegt.
> Somit würde ich
> sagen [mm] {\{\IR \} }
[/mm]
Ach Du grüne Neune!
Weißt Du, was Du da gerade angibst: eine Menge mit einem Element... (Das Element, welches in Deiner Menge liegt, ist [mm] \IR)
[/mm]
Ich weiß natürlich, was Du meinst: Du meinst [mm] \IR. [/mm] Jedoch - s.o.
Du mußt Dich unbedingt mit den Zahlbereichen beschäftigen!
In welchem Zusammenhang stehen [mm] \IN, \IZ, \IQ, \IR?
[/mm]
Ist 4 eine ganze Zahl? Ist [mm] \bruch{3}{4} [/mm] reell? Und -4? Ist [mm] \wurzel{3} [/mm] eine rationale Zahl? Ist [mm] \bruch{3}{4} [/mm] rational?
Wie kann man die irrationalen Zahlen mithilfe der 4 Mengen schreiben?
Gruß v. Angela
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In welchem Zusammenhang die stehen, hatten wir ja schonmal in vorigen Kapiteln geklärt. Wenn ich x= [mm] \bruch{n}{m} [/mm] mit der Eigenschaft n [mm] \in \IN [/mm] , m [mm] \in \IR [/mm] habe, dann ergibt sich für mein x eine [mm] \IR. [/mm] Das hatten wir ja auch schon so richtig gestellt. Und wir hatten auch festgestellt, dass mein x in der Menge der Reellen Zahlen liegen muss und multipliziert mit einer Zahl m, welche in der Menge der Ganzen Zahlen (außer null) liegen muss, eine Natürliche Zahl ergeben muss.
dann hatten wir für die Zahl m=1 z.B. [mm] \bruch{0}{1},\bruch{1}{1},\bruch{2}{1} [/mm] usw.
und für die Zahl m=2 z.B. [mm] \bruch{0}{2},\bruch{1}{2},\bruch{2}{2} [/mm] usw.
Vereinige ich jetzt diese Mengen, so erhalte ich { [mm] 0,\bruch{1}{2},1,\bruch{3}{2},2 [/mm] usw. }
Das kann man ja im Prinzip bis ins unendliche weitermachen.
Aber wie soll ich jetzt außer mit x = [mm] \bruch{n}{m} [/mm] { x [mm] \in \IR [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] , m [mm] \in \IR [/mm] \ {0} } die Menge darstellen???
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> Aber wie soll ich jetzt außer mit x = [mm]\bruch{n}{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ x [mm]\in \IR[/mm]
> | n [mm]\in \IN[/mm] , m [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} } die Menge darstellen???
Hm. Ich hielt das vorhin lediglich für einen Fehler, der beim Hin- und Herkopieren entstanden ist und hatte das stillschweigend korrigiert: was meinst Du eigentlich mit dieser Schreibweise?
Ich dachte eigentlich, daß Du \{ \bruch{n}{m} \in \IR | n \in \IN, m \in \IR \ {0} }\ meinst - und habe leider in der Klammer noch einen wesentlcihen Fehler übersehen: es muß heißen m \in \IZ \ {0}, also \{ \bruch{n}{m} \in \IR | n \in \IN, m \in \IZ \ {0} }\
> In welchem Zusammenhang die stehen, hatten wir ja schonmal
> in vorigen Kapiteln geklärt.
Wir hatten versucht, das zu klären, offensichtlich ist es nicht gelungen.
Daher hatte ich auch noch ein paar Fragen zu diesem Thema gestellt, welche Dich dazu anregen sollten, Dich mit den Zahlbereichen zu beschäftigen - auf dem Niveau der Mittelstufe. Du mußt dazu kein dickes Fachbuch durcharbeiten!
Ganz wesentlich ist, daß Du den Unterschied von \IR und \IQ kennst und erkennst und eine Charakterisierung von \IQ angeben kannst, ebenso, wie es kein Durcheinander zwischen den Begriffen reell, rational und irrational geben darf.
Klär das!
Wenn ich x= [mm]\bruch{n}{m}[/mm] mit
> der Eigenschaft n [mm]\in \IN[/mm] , m [mm]\in \IR[/mm] habe, dann ergibt
> sich für mein x eine [mm]\IR.[/mm]
Ja, das kann gar nicht anders sein aufgrund der Struktur der reellen Zahlen.
[mm] x=\bruch{5}{\wurzel{2}} [/mm] ist eine reelle Zahl.
Allerdings fällt mir keine ganze Zahl ein, mit der ich sie multiplizieren könnte, damit sie eien natürliche ergibt.
Na gut, das ist ein Problem temporärer Wirrnis, bin ich ja auch zwischendurch von befallen worden. Du hast vergessen, daß das m ganz ist.
Und wir halten jetzt nochmal etwas fest, was Du ein paar Posts zuvor noch wußtest:
Diese [mm] x\in \IR, [/mm] die in der großen Vereinigungsmenge liegen, haben die Gestalt [mm] \bruch{n}{m} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] m\in \IZ.
[/mm]
Und ich wiederhole nun meine Frage: was sind das für Zahlen? Das ist ja eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die einen eigenen Namen hat.
> Das hatten wir ja auch schon so
> richtig gestellt. Und wir hatten auch festgestellt, dass
> mein x in der Menge der Reellen Zahlen liegen muss
Richtig. Wie oben gesagt: in einer ganz speziellen Teilmenge der reellen Zahlen.
und
> multipliziert mit einer Zahl m, welche in der Menge der
> Ganzen Zahlen (außer null) liegen muss, eine Natürliche
> Zahl ergeben muss.
Eben.
Gruß v. Angela
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Die nicht periodischen Dezimalzahlen (irrationalen Zahlen) sind es also nicht, da diese multipliziert mit einer ganzen Zahl keine Natürliche ergeben.
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> Die nicht periodischen Dezimalzahlen (irrationalen Zahlen)
> sind es also nicht, da diese multipliziert mit einer ganzen
> Zahl keine Natürliche ergeben.
Wir nähern uns der Sache. (Klingt ein bißchen wie früher beim heiteren Beruferaten mit Robert Lemke: "Gehe ich recht in der Annahme, daß sie nicht..." - aber das war vor Deiner Zeit.)
Das Ausschlußprinzip ist nicht übel. Die irrationalen sind es also nicht, richtig.
Bleibt die Frage: welche sind es?
Gruß v. Angela
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Ich hab immer schiss, dass wenn ich so nah dran bin dann doch wieder bis zum anfang zurückgeworfen werde!!! Sind es vielleicht nur die rationalen???
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> Ich hab immer schiss, dass wenn ich so nah dran bin dann
> doch wieder bis zum anfang zurückgeworfen werde!!!
Ja, so war das bei Robert Lembke auch. Wenn die Antwort "nein" lautete, gab's keine 5 Mark ins Schweinderl.
> Sind es
> vielleicht nur die rationalen???
Hurra!!!!! Ja, die sind's!!!!!!!!
Die rationalen Zahlen, gerne auch geschrieben als [mm] \IQ, [/mm] sind doch gerade die Brüche [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit [mm] \p\in \IN [/mm] und [mm] q\in \IZ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] bzw. [mm] \p\in \IZ [/mm] und [mm] q\in \IN [/mm] \ [mm] \{0\}. [/mm]
Ich könnte mir sehr gut vorstellen, daß das sogar in der Vorlesung dran war.
Ich weiß, daß Dir das jetzt einen Schock versetzt:
Ich kenne die Gepflogenheiten der HM für Ingenieure überhaupt nicht, ich bin aber der Meinung, daß es nicht reicht, wenn Du einfach schreibst: die zu betrachtende Menge = [mm] \IQ.
[/mm]
Das muß begründet werden. Also bewiesen.
Also:
Behauptung: es ist [mm] \bigcup_{\{m\in\IZ \ {0}\}} [/mm] {x [mm] \in \IR|mx \in \IN\} [/mm] = [mm] \IQ
[/mm]
Beweis:
A: " <=="
Sei [mm] q\in \IQ. [/mm] Dann kann man q schreiben als ...
Es ist [mm] q*...\in \IN, [/mm] also ist [mm] q\in [/mm] {x [mm] \in \IR|...x \in \IN\} [/mm] ==> [mm] q\in \bigcup_{\{m\in\IZ \ {0}\}} [/mm] {x [mm] \in \IR|mx \in \IN\}.
[/mm]
B:"==>"
Sei [mm] q\in \bigcup_{\{m\in\IZ \ {0}\}} [/mm] {x [mm] \in \IR|mx \in \IN\}.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] m\in \IZ [/mm] \ {0}\ mit m*q [mm] \in [/mm] ....
Also kann man q schreiben als ... ==> [mm] q\in \IQ.
[/mm]
Wenn Du das jetzt hinbekommst und verstehst, hast Du die Aufgabe verstanden.
Gruß . Angela
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Klasse ich bin so unendlich glücklich.
Danke für all die Geduld.
Mit freundlichen Grüßen Dominic
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