Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mi 23.05.2007 | | Autor: | aineias |
| Aufgabe | Seien X, Y nichtleere Mengen, f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und [mm] M_1, M_2 \subseteq [/mm] X Teilmengen. Zeigen Sie
a.) [mm] f(M_1 \cup M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cup f(M_2)
[/mm]
b.) [mm] f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)
[/mm]
c.) Ist f injektiv, so gilt in b.) Gleichheit.
d.) Es gibt Fälle mit [mm] f(M_1 \cap M_2) \subset \not= f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] (konkretes Beispiel!).
|
hi,
die ersten beiden könnte man mit dem distributivgesetz argumentieren...
bei den letzten beiden habe ich jedoch keinen schimmer!! was ich zumal auich nciht verstehe ist, ist das bei der c.) nicht eher so, dass die gleichheit gilt wenn f bijektiv ist???
und wie soll das bei der d. aussehen??!!!!
|
|
| |
|
> Seien X, Y nichtleere Mengen, f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung und
> [mm]M_1, M_2 \subseteq[/mm] X Teilmengen. Zeigen Sie
> a.) [mm]f(M_1 \cup M_2)[/mm] = [mm]f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
> b.) [mm]f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
>
> c.) Ist f injektiv, so gilt in b.) Gleichheit.
> d.) Es gibt Fälle mit [mm]f(M_1 \cap M_2) \subset \not= f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
> (konkretes Beispiel!).
>
>
Hallo,
gehen wir's mal langsam an.
zu a)
hier ist ja zweierlei zu zeigen
[mm] i)f(M_1 \cup M_2) \subseteq f(M_1) \cup f(M_2)
[/mm]
ii) [mm] f(M_1) \cup f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2).
[/mm]
Solche Teilmengenbeziehungen zeigt man elementweise, daß nämlich jedes Element der einen Menge auch in der anderen Menge liegt.
Beginne nun bei i) so:
Sei [mm] y\in f(M_1 \cup M_2)
[/mm]
==> ... Du überlegst Dir hier, was es bedeutet, wenn y in obiger Menge ist, und wenn Du das erkannt hast, bist Du nahezu fertig.
Danach kannst Du ii) machen.
> die ersten beiden könnte man mit dem distributivgesetz argumentieren...
Welches Distributibgesetz meinst Du? Was sind die Zutaten für Distributivgesetze?
> c.) nicht eher so, dass die gleichheit gilt wenn f bijektiv ist???
Die Injektivität reicht.
> wie soll das bei der d. aussehen?
Die vorhergehenden Aufgaben deuten daraufhin, daß Du solch ein Beispiel unter den Funktionen, welche nicht injektiv sind, suchen mußt.
Mach erstmal die a), dann sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo, wir sind auch gerade mit der Aufgabe beschäftigt.
> zu a)
>
> hier ist ja zweierlei zu zeigen
>
> [mm]i)f(M_1 \cup M_2) \subseteq f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
> ii) [mm]f(M_1) \cup f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2).[/mm]
Also, zu i)
Sei y [mm] \in f(M_1 \cup M_2)
[/mm]
[mm] f(M_1 \cup M_2)= f(y_1 +y_2)= f(y_1)+ f(y_2)= f(M_1) \cup f(M_2)
[/mm]
Ist die Überlegung richtig? und geht das für ii genau umgekehrt? LG...
|
|
|
| |
|
> > zu a)
> >
> > hier ist ja zweierlei zu zeigen
> >
> > [mm]i)f(M_1 \cup M_2) \subseteq f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
> > ii)
> [mm]f(M_1) \cup f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2).[/mm]
>
> Also, zu i)
> Sei y [mm]\in f(M_1 \cup M_2)[/mm]
> [mm]f(M_1 \cup M_2)= f(y_1 +y_2)= f(y_1)+ f(y_2)= f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
>
> Ist die Überlegung richtig?
Hallo,
nein das ist leider nicht richtig.
Es ist sogar ziemlicher Unfug, wie Du gleich selbst sehen wirst:
Ich nehme mal an, daß die [mm] y_i\in M_i [/mm] sein sollen.
Du schreibst: [mm] "f(M_1 \cup M_2)= f(y_1 +y_2)"
[/mm]
Was tust Du da? Du hast auf der einen Seite der Gleichung eine Menge, nämlich die Bildmenge von [mm] M_1 \cup M_2, [/mm] auf der anderen Seite einen Funktionswert, ein Element aus der Bildmenge.
Das ist zwar ganz furchtbar, passiert jedoch zu Beginn nicht nur Dir.
Kein Grund für Depressionen, aber ein Grund dafür, sich genau zu vergegenwertigen, wie "f von einer Menge" definiert ist.
Was ist das? (Hier zeigt sich ein allgemeingültiges Rezept: immer erstmal die benötigten Begriffe und Definitionen klären. Das ist oft schon die halbe Lösung.)
Und noch eines überleg Dir genau: was bedeutet [mm] x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B?
Nachschlagen. Aufschreiben. Dann sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> Beginne nun bei i) so:
>
> Sei [mm]y\in f(M_1 \cup M_2)[/mm]
>
> ==> ... Du überlegst Dir hier, was es bedeutet, wenn y in
> obiger Menge ist, und wenn Du das erkannt hast, bist Du
> nahezu fertig.
>
> Danach kannst Du ii) machen.
>
> Da hier keiner mehr antwortet, ich die Antwort aber auch gern wissen würde, versuch ichs mal weiter:)
>
Wenn y [mm] \in [/mm] f(M1 [mm] \cup [/mm] M2), folgt dann y [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] (M2) ?
Weil daraus würde dann ja folgen, dass
y /in f(M1) [mm] \cup [/mm] f(M2) sein müsste, somit läge es in beiden Mengen drin.
Lg, LaLuna
|
|
|
| |
|
Ne´, daraus müsste folgen, dass Y /in M1 [mm] \vee [/mm] y /in M2 wäre, oder?
Kann ich an die Aufgabe auch mit folgendem Ansatz drangehen?:
Sei xi /in M1, i /in {1, 2, ..., n} und sei yi [mm] \in [/mm] M2, i [mm] \in [/mm] {1, 2...., k}
f(M1)= { f(xi):xi [mm] \in [/mm] M1} und
f(M2)= { f(yi):yi /in M2}
[mm] f(M1)\cup [/mm] f(M2) = { f(xi):x [mm] \in [/mm] M1} [mm] \cup [/mm] { f(yi):yi [mm] \in [/mm] M2}
= { f(xi [mm] \cup [/mm] yi):xi [mm] \in [/mm] M1, yi [mm] \in [/mm] M2}
= f (M1 [mm] \cup [/mm] M2)
??
|
|
|
| |
|
Hi, LaLuna
zu a)
Also oft zeigt man die Gleichheit von Mengen indem man beide Inklusionen zeigt. Wenn die rechte Menge Teilmenge der linken Menge ist und die linke Menge Teilmenge der rechten Menge ist, dann sind die Mengen gleich. Ich würde also folgendermaßen vorgehen:
1. Zeige $ [mm] f(M_{1} \cup M_{2}) [/mm] $ $ [mm] \subset [/mm] $ $ [mm] f(M_{1}) \cup f(M_{2}) [/mm] $
2. Zeige $ [mm] f(M_{1} \cup M_{2}) [/mm] $ $ [mm] \supset [/mm] $ $ [mm] f(M_{1}) \cup f(M_{2}) [/mm] $
zu 1.
Sei [mm] y\in f(M_{1} \cup M_{2}).
[/mm]
Dann gibt es ein x mit y=f(x) und [mm] x\in(M_{1} \cup M_{2}).
[/mm]
Also ist [mm] x\in M_1 [/mm] oder [mm] x\in M_2.
[/mm]
Somit liegt f(x)=y in [mm] f(M_{1}) [/mm] oder f(x)=y liegt in [mm] f(M_{2}).
[/mm]
Jetzt musst du nur noch 2. zeigen.
MFG
|
|
|
| |
|
Hey, LaLuna...
Also in diesem Fall ist
[mm] f(M_{1} \cup M_{2}) [/mm] = [mm] f(M_{1}) \cup f(M_{2}) [/mm] .
Wenn also [mm] y\in f(M_1 \cup M_2) [/mm] ist, folgt tatsächlich, dass [mm] y\in f(M_1) \vee y\in f(M_2) [/mm] ist, also auch [mm] y\in f(M_1) \cup f(M_2). [/mm] Das heißt aber nicht zwingend, dass y in beiden Mengen drin sein muss. y ist in der Vereinigung der beiden Mengen drin, also wie du richtig sagtest [mm] y\in f(M_1) \vee y\in f(M_2).
[/mm]
Das y kann auch in beiden Mengen sein, nämlich wenn y im Schnitt der beiden Mengen ist, das aber wiederum nur, wenn die beiden Mengen denn überhaupt einen Schnitt besitzen, bzw. der Schnitt der beiden Mengen nicht leer ist.
MFG
|
|
|
| |
|
Ja, da hab ich mir auch schon Gedanken drüber gemacht, dass es auch im Schnitt liegen könnte.
Habs mal mit deiner Variante den zweiten Schritt versucht:
Zu 2:
Sei y [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \cup [/mm] f(M2)
Dann gibt es ein x mit f(x)=y , x [mm] \in [/mm] M1 oder x [mm] \in [/mm] M2
Also: x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \cup [/mm] M2)
Daraus folgt:
f(x)=y liegt in f(M1 [mm] \cup [/mm] M2)
Könnte man das dann so machen?
|
|
|
| |
|
Ja, durchaus, so würde ich es machen. 
Vielleicht würde ich noch vollständigkeitshalber zusätzlich den 3.Fall noch erwähnen, nämlich wenn eine der Teilmengen [mm] M_1 [/mm] oder [mm] M_2 [/mm] leer ist (oder beide), aber das ist ziemlich trivial und wahrscheinlich nicht unbedingt notwendig.
MFG
|
|
|
| |
|
In der Aufgabenstallung steht glücklicherweise , dass die Mengen nicht leer sind:)
Zu der b ) Also
Zeigen Sie:
f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subseteq [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2)
Kann ich das genauso machen, wie in der a, nur dass ich den Fall 2 weglasse?
Das Problem ist, dass ich dann ja noch nicht gezeigt habe, dass es eine Teilmenge ist....
Es ist aber die Frage, ob ich das zeigen muss, da ja auch Gleichheit herrschen könnte, wie dann in c behauptet wird....
|
|
|
| |
|
Hi, also genaugenommen steht in der Aufgabenstellung, dass die Mengen X und Y nicht leer sind und [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] Teilmengen der nichtleeren Menge X sind. Es ist also nicht gesagt, dass [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] nicht leer sind. [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] könnten also theoretisch auch leer sein, dann wären sie immernoch Teilmengen von X und die Voraussetzung wäre immernoch erfüllt.
Zu b)
Da kannst du also änlich wie bei a) vorgehen und den 2. Fall weglassen, da du ja nicht die Gleichheit zeigen brauchst. Damit zeigst du dann schon, dass es eine Teilmenge ist. Wenn die Gleichheit der beiden Mengen aber herrschen würde, dann wäre die Teilmengenbedingung doch ebenfalls erfüllt, denn wenn 2 Mengen gleich sind, dann folgt doch daraus, dass die linke Menge Teilmenge der rechten Menge ist und die rechte Menge Teilmenge der linken Menge. Somit wäre das ja auch bewiesen. Das war doch das Problem oder?
MFG
|
|
|
| |
|
oh stimmt, da hab ich mich wohhl verlesen, bzw gelesen, was ich lesen wollte:)
Ja, damit wäre das problem voll und ganz gelöst:)
Aber nun will mir die c nicht in den Kopf...Ich verstehe nicht, was M1 und M2 damit zu tun haben, dass f injektiv ist.
Dann ist jedem y aus Y höchstens ein x aus X zugeordnet...
Dann kann es aber doch in x imme rnoch mehr Elemte als in Y geben, oder?
Oder muss ich da irgendiwe mit dem Ansatz dran , dass f(M1) und f(M2) teilmengen aus Y sind?
|
|
|
| |
|
Joa, also da hier wieder eine Gleichheit zu beweisen ist (unter der Voraussetzung, dass f injektiv ist) ist wieder folgendes zu zeigen:
f injektiv [mm] \Rightarrow f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cap f(M_2).
[/mm]
Sei f also injektiv.
Dann wäre jetzt z.z.: [mm] f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cap f(M_2),
[/mm]
d. h. z.z: 1. [mm] f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm]
2. [mm] f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2).
[/mm]
Nun, 1. hast du ja bereits in b) gezeigt, bleibt also nur 2. z.z.
Die Definition der Injektivität einer Menge ist ja: [mm] \forall x_1, x_2\in [/mm] X: [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. [/mm] Diese Voraussetzung, die ja gegeben ist, sollte in die Beweisführung miteinflliessen. Die Gleichheit der beiden Mengen gilt ja deshalb nicht stehts, weil es Mengen [mm] M_1, M_2 [/mm] gibt, sodass
[mm] M_1\cap M_2=\emptyset [/mm] sein kann. Dann ist [mm] f(M_1\cap M_2)=\emptyset.
[/mm]
[mm] f(M_1) [/mm] und [mm] f(M_2) [/mm] sind aber nicht leer und enthalten auch gleiche
Elemente, sodass [mm] f(M_1) \cap f(M_2) \not=\emptyset.
[/mm]
Z.b. wenn [mm] M_1= [/mm] {1} und [mm] M_2= [/mm] {2} [mm] \Rightarrow M_1\cap M_2=\emptyset.
[/mm]
Nun kann man f so wählen, dass f(1)=f(2) ist. Der Schnitt dieser beiden Mengen ist nicht leer. Die Gleichheit der Beiden Mengen gilt in diesem Fall also nicht.
Nun hast du ja die Voraussetzung, dass f injektiv ist, d.h. man kann f nicht mehr so wählen, dass f(1)=f(2) ist, denn das würde der Voraussetzung der Injektivität von f widersprechen.
Wenn du das also jetzt in vernüftige Beweisform bringst, dann ist das im Grunde auch schon alles.
Ich hoffe das ist dir eunleuchtender geworden und bringt dich weiter....
MFG
|
|
|
| |
|
Jetzt muss ich dann also mit dem Ansatz oben zeigen, dass
f (M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subseteq [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f ( M2) ist, oder?
Und das kann ich dann doch theoretisch so machen wie, ich auch schon gezeigt habe, dass es andersherum gilt? Weil ja durch die Injektivität gezeigt wurde, dass die Menge nicht leer sein kann...
|
|
|
| |
|
HI, LaLuna...
Das : [mm] f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] hast du ja in b) bereits gezeigt, z. z. ist also die Rückrichtung, also: [mm] f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] .
Das kann man wie gewohnt zeigen, also wie du das schon bei a) und b) gemacht hast, ganau, unter der Berücksichtigung der Injektivität von f.
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mi 30.05.2007 | | Autor: | LaLuna1123 |
Alles klar, danke:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
also hier verstehe ich zwar den beweis der rückrichtung, allerdings weiss ich nicht, wie man hier die definition der injektivität einbeziehen soll!
kann mir vlt jemand helfen??
|
|
|
| |
|
> also hier verstehe ich zwar den beweis der rückrichtung,
> allerdings weiss ich nicht, wie man hier die definition der
> injektivität einbeziehen soll!
> kann mir vlt jemand helfen??
Hallo,
ich schließe daraus, daß Du den Beweis der Rückrichtung schon irgendwie gemacht hast.
Dann zeig' das mal, dann können wir gucken, wo die Injektivität ins Spiel kommt.
Falls Du noch nichts gemacht hast:
Zeigen mußt Du ja
[mm] y\in f(M_1)\cap f(M_2) [/mm] ==> y [mm] \in f(M_1\cap M_2).
[/mm]
Also
Sei y [mm] \in f(M_1)\cap f(M_2)
[/mm]
==> es gibt ... usw.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
hi,
ja also das sieht bei mir wie folgt aus:
es ist zu zeigen: [mm] f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cap f(M_2), [/mm] d.h.
1. [mm] f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)
[/mm]
2. [mm] f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2)
[/mm]
1.: ist schon bereits in b.) gezeigt. bleibt nur noch 2. zu zeigen:
sei y [mm] \in f(M_1) \cap f(M_2). [/mm] dann gibt es ein x mit f(x)= y, x [mm] \in M_1 [/mm] und x [mm] \in M_2 [/mm] ----> x [mm] \in (M_1 \cap M_2) [/mm] ---> f(x) = y liegt in [mm] f(M_1 \cap M_2).
[/mm]
so, und wo kann man hier die def. für injektivität einbeziehen??
|
|
|
| |
|
> 2. [mm]f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
>
>
> sei y [mm]\in f(M_1) \cap f(M_2).[/mm] dann gibt es ein x mit f(x)=
> y, x [mm]\in M_1[/mm] und x [mm]\in M_2[/mm]
Hallo,
das ist nicht richtig.
y [mm] \in f(M_1) \cap f(M_2)
[/mm]
==> y [mm] \in f(M_1) [/mm] und y [mm] \in f(M_2)
[/mm]
==> ... (Du hast es hier nicht nur mit einem x zu tun, sondern mit [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Und dann kommt ziemlich schnell die Injektivität ins Spiel.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Sa 02.06.2007 | | Autor: | aineias |
hmm irgendwie leutchtet mir hier der lösungsatz nicht ein. damit wäre doch die gleichheit gezeigt und nicht die teilmenge, oder?
|
|
|
| |
|
> hmm irgendwie leutchtet mir hier der lösungsatz nicht ein.
> damit wäre doch die gleichheit gezeigt und nicht die
> teilmenge, oder?
Hallo,
ich würde ungern den ganzen Thread studieren.
Welche Teilaufgabe meinst Du mit "hier", und wie sieht Dein Beweis zur Lösung derselben bisher aus?
Wenn Du noch keinen Beweis hast:
was ist zu zeigen? Wo hängst Du?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi....
Ich weiß zwar nicht ganz genau auf welche Stelle der Aufgabe du dich beziehst, aber die Gleichheit zweier Mengen schliesst doch mit ein, dass die eine der beiden Mengen Teilmenge der anderen ist und umgekehrt.
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
hallo,
kann hier jemand vlt zu der d.) ein bsp angeben, irgendwie komme ich da zu keinem bsp, in dem diese bed. gilt!! grrrrrrr
|
|
|
| |
|
Wie ich bereits schrieb, mußt Du Dich da unter den Funktionen umschauen, die nicht injektiv sind.
Nimm z.B. [mm] f(x)=x^2 [/mm] und such Dir passende Mengen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
