Menge von kompl. Zahlen skizz. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:07 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Raingirl87 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Menge derjenigen komplexen Zahlen, für welche
(a) Im( [mm] \bruch{z-i}{z+1} [/mm] )=0 bzw. (b) Im( [mm] \bruch{z-i}{z+1} [/mm] )>0
gilt. |
Hallo!
Ich habe folgende Lösung:
(a) [mm] \bruch{y-i}{y+1}=0 [/mm] --> y-i=0 --> y=i ... da i=1 im Koodrinatensystem ist, ist die Lösung eine Gerade parallel zur X-Achse bei y=1 (also i in der komplexen Ebene)
(b) [mm] \bruch{y-i}{y+1}>0 [/mm] --> y-i>0 --> y>i ... Fläche über der Gerade aus (a)
Stimmt das so?
Danke schonmal!
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Hallo Raingirl!
Was hast Du denn hier gerechnet? Du musst bedenken, dass $z_$ ebenfalls eine komplexe Zahl mit $z \ = \ a+i*b$ ist:
[mm] $\bruch{z-i}{z+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a+i*b-i}{a+i*b+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a+i*(b-1)}{(a+1)+i*b} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[a+i*(b-1)]*\blue{[(a+1)-i*b]}}{[(a+1)+i*b]*\blue{[(a+1)-i*b]}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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ich hab nun...
[mm] \bruch{[a+i(b-1)]}{[(a+1)-ib]} =\bruch{\wurzel{a²+(b-1)²}}{\wurzel{(a+1)²-b²}} [/mm]
[mm] =\bruch{a²+(b-1)²}{(a+1)²-b²}
[/mm]
[mm] =\bruch{a²+b²-2b+1}{a²+2a+1-b²} [/mm] = 0
a²+b²-2b+1 = 0
und nun?
Raingirl87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mo 26.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo raingirl
Ich vermiss so was den netten Umgangston! Ohne auf die Antwort zu reagieren, rechnest du was neues, nämlich den Betrag aus.
Gefragt war nach dem Imaginärteil. Wie du den berechnen kannst hatte das letzte post gezeigt. man macht den Nenner reelll, dann braucht man nur noch den Imaginärteil des Zählers =0 setzen. Du kriegst einen Zusammenhang zwischen a und b der gesuchten z, wenn du a=x und b=y denkst fällt es dir vielleich leichter die Punkte zu finden.
Gruss leduart
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Hallo Leduart!
Ich sitze gerade auch an dieser Aufgabe. Leider vestehe ich trotz deiner Antwort auf die Frage von Raingirl87 den Lösungsweg nicht so richtig.
Ich habe jetzt den Nenner reell gemacht indem ich die Wurzel daraus gezogen habe...stimmt das?
Nun habe ich [mm] \bruch{a+i(b-1)}{(a+1)²-b²}.
[/mm]
Wenn ich den Imaginärteil des Zählers = 0 setze komme ich auf b=1 (also y=1), ja? Und wie bekomme ich nun a raus? Vielleicht indem ich b in den Nenner einsetze?
Liebe Grüße, Jennymaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 27.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Jenny!
> Ich habe jetzt den Nenner reell gemacht indem ich die
> Wurzel daraus gezogen habe...stimmt das?
> Nun habe ich [mm]\bruch{a+i(b-1)}{(a+1)²-b²}.[/mm]
Das verstehe ich nun wieder nicht. Du machst den Nenner reell, indem du den Bruch erweiterst. Der Nenner ist dann mit deinen Buchstaben [mm] (a+1)^{2} [/mm] + [mm] b^{2}, [/mm] aber er interessiert uns nicht so sehr. Jetzt nimm dir mal den Zähler vor, der sieht anders aus als bei dir!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ich verstehe leider nicht, was ich machen soll. :-(
Nachdem ich erweitert und gekürzt habe komme ich auf [mm] \bruch{a+i(b-1)}{(a+1)-ib}. [/mm] Aber was mache ich dann...da ist der Nenner doch immernoch komplex.?
Liebe Grüße, Jennymaus
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Hallo Jenny!
Du darfst den Erweiterungsterm (siehe meine Antwort oben) nicht gleich wieder kürzen ... denn damit kommen wir ja nicht vorwärts.
Im Nenner entsteht dann durch Anwendung der 3. binomischen Formel:
$[(a+1)+i*b]*[(a+1)-i*b] \ = \ [mm] (a+1)^2-(i*b)^2 [/mm] \ = \ [mm] (a+1)^2-i^2*b^2 [/mm] \ = \ [mm] (a+1)^2-(-1)*b^2 [/mm] \ = \ [mm] (a+1)^2+b^2$
[/mm]
Und voilà ... nun ist der Nenner reell.
Im Zähler musst Du halt den Ausdruck [mm] $[a+i\cdot{}(b-1)]\cdot{}[(a+1)-i\cdot{}b]$ [/mm] ausmultiplizieren und nach Real- bzw. Imaginärteil sortieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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achso...ich habe den Zähler jetzt ausmultipliziert und habe erhalten:
[mm] \bruch{a2+a+b²-b+i(-a+b²-1)}{(a+1)²+b²} [/mm] .
Dann habe ich den Imaginärteil = 0 gesetzt:
-a+b-1=0 -->x=y-1 --> y=x+1
Zu zeichnen ist also jetzt nur die Gerade y=x+1, ja?
Aber in der Aufgabe steht doch =0...? Und wie ist es bei >0...zeichne ich da nur den Geradenteil, der über y=0 liegt?
Liebe Grüße und danke, Jennymaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 27.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Jenny, so langsam lichtet sich der Nebel ...
> achso...ich habe den Zähler jetzt ausmultipliziert und habe
> erhalten:
> [mm]\bruch{a^{2}+a+b²-b+i(-a+b-1)}{(a+1)²+b²}[/mm] .
> Dann habe ich den Imaginärteil = 0 gesetzt:
> -a+b-1=0 -->x=y-1 --> y=x+1
> Zu zeichnen ist also jetzt nur die Gerade y=x+1, ja?
So isset!
> Aber in der Aufgabe steht doch =0...? Und wie ist es bei
> >0...zeichne ich da nur den Geradenteil, der über y=0
> liegt?
Nee, da zeichnest du die Halbebene oberhalb dieser Geraden, da ist ja y > x + 1. Probier das einfach mal mit ein paar Punkten!
Ciao
Dieter
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