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Hallo liebe Forenmitglieder,
ich würde gerne die Menge aller achsenparalleler Rechtecke formal korrekt definieren. Ich habe mir folgendes überlegt: ein Rechteck ist eine Menge der Form [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | a \le x \le b, c \le y \le d \} [/mm] für relle Zahlen $a,b,c,d$. Jetzt möchte ich gerne die Vereinigung dieser Mengen für alle $a,b,c,d [mm] \in \IR$ [/mm] bilden. [mm] \bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\} [/mm] wäre aber meines Wissens nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand. Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:16 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Forenmitglieder,
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> ich würde gerne die Menge aller achsenparalleler Rechtecke
> formal korrekt definieren. Ich habe mir folgendes
> überlegt: ein Rechteck ist eine Menge der Form [mm]\{(x,y) \in \IR^2 | a \le x \le b, c \le y \le d \}[/mm]
> für relle Zahlen [mm]a,b,c,d[/mm].
Wenn ein solches Rechteck "echt" sein soll, so solltest Du noch
a<b und c<d
fordern.
Denn: im Falle a>b oder c>d ist obige Menge leer.
Im Falle a=b und c<d ist obige Menge ein Geradenstück (ebenso im Fall a<b und c=d)
Im Fall a=b und c=d besteht obige Menge nur aus einem Punkt.
> Jetzt möchte ich gerne die
> Vereinigung dieser Mengen für alle [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] bilden.
> [mm]\bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\}[/mm] wäre aber meines Wissens
> nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare
> Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur
> ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand.
Ja, das tut sie: die Vereinigung aller achsenpar. Rechtecke = [mm] \IR^2.
[/mm]
FRED
> Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Viele Grüße
> Gratwanderer
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Hallo,
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich denke, ich habe mich etwas unpräzise ausgedrückt (s.u.).
> > Jetzt möchte ich gerne die
> > Vereinigung dieser Mengen für alle [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] bilden.
> > [mm]\bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\}[/mm] wäre aber meines Wissens
> > nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare
> > Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur
> > ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand.
>
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>
> Ja, das tut sie: die Vereinigung aller achsenpar. Rechtecke
> = [mm]\IR^2.[/mm]
>
Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine Teilmenge des [mm] \IR^2) [/mm] ist. Dies ist für den [mm] \IR^2 [/mm] nicht der Fall.
Viele Grüße
Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich denke, ich habe
> mich etwas unpräzise ausgedrückt (s.u.).
>
> > > Jetzt möchte ich gerne die
> > > Vereinigung dieser Mengen für alle [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] bilden.
> > > [mm]\bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\}[/mm] wäre aber meines Wissens
> > > nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare
> > > Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur
> > > ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand.
> >
> >
> >
> > Ja, das tut sie: die Vereinigung aller achsenpar. Rechtecke
> > = [mm]\IR^2.[/mm]
> >
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> Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element
> selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine
> Teilmenge des [mm]\IR^2)[/mm] ist. Dies ist für den [mm]\IR^2[/mm] nicht der
> Fall.
Du willst also eine Teilmenge der Potenzmenge P des [mm] \IR^2 [/mm] basteln, die achsenpar. Rechtecke enthält.
Welche Eigenschaften soll denn P haben ?
FRED
>
> Viele Grüße
> Gratwanderer
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> > Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element
> > selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine
> > Teilmenge des [mm]\IR^2)[/mm] ist. Dies ist für den [mm]\IR^2[/mm] nicht der
> > Fall.
>
> Du willst also eine Teilmenge der Potenzmenge P des [mm]\IR^2[/mm]
> basteln, die achsenpar. Rechtecke enthält.
>
> Welche Eigenschaften soll denn P haben ?
>
$P$ soll nur diejenigen Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] enthalten, für die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks zutreffen. Für ein $r [mm] \in [/mm] P$ gibt es also reelle Zahlen $a,b,c,d$ mit $a<b$ und $c<d$, sodass $r = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | a \le x \le b, c \le y \le d \}$.
[/mm]
Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element
> > > selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine
> > > Teilmenge des [mm]\IR^2)[/mm] ist. Dies ist für den [mm]\IR^2[/mm] nicht der
> > > Fall.
> >
> > Du willst also eine Teilmenge der Potenzmenge P des [mm]\IR^2[/mm]
> > basteln, die achsenpar. Rechtecke enthält.
> >
> > Welche Eigenschaften soll denn P haben ?
> >
>
> [mm]P[/mm] soll nur diejenigen Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] enthalten, für
> die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks
> zutreffen. Für ein [mm]r \in P[/mm] gibt es also reelle Zahlen
> [mm]a,b,c,d[/mm] mit [mm]a
>
> Gratwanderer
Wo ist jetzt das Problem ? Die obige Beschreibung von P genügt doch.
FRED
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> > [mm]P[/mm] soll nur diejenigen Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] enthalten, für
> > die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks
> > zutreffen. Für ein [mm]r \in P[/mm] gibt es also reelle Zahlen
> > [mm]a,b,c,d[/mm] mit [mm]a
>
> >
> Wo ist jetzt das Problem ? Die obige Beschreibung von P
> genügt doch.
>
Kann ich $P$ wie folgt definieren: $P = [mm] \{ R \in \mathcal{P}(\IR^2) | \exists a,b,c,d \in \IR, a
P.S.: Ich denke nicht, weil in dieser Menge dann auch alle Mengen enthalten wären, um die ein Rechteck gelegt werden kann (bounding box).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]P[/mm] soll nur diejenigen Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] enthalten, für
> > > die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks
> > > zutreffen. Für ein [mm]r \in P[/mm] gibt es also reelle Zahlen
> > > [mm]a,b,c,d[/mm] mit [mm]a
>
> >
> > >
> > Wo ist jetzt das Problem ? Die obige Beschreibung von P
> > genügt doch.
> >
>
> Kann ich [mm]P[/mm] wie folgt definieren: [mm]P = \{ R \in \mathcal{P}(\IR^2) | \exists a,b,c,d \in \IR, a
>
> P.S.: Ich denke nicht, weil in dieser Menge dann auch alle
> Mengen enthalten wären, um die ein Rechteck gelegt werden
> kann (bounding box).
>
[mm] $P=\{[a,b] \times [c,d]: a,b,c,d \in \IR, a
FRED
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