Menge offen und beschränkt < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 09.10.2012 | | Autor: | Duden |
| Aufgabe | | Die Menge A = [mm] \{(x,y,z) \in \IR^{3} | x^{2} + y^{2} < 1, z=0\} \subseteq \IR^{3} [/mm] ist offen und beschränkt. |
Hallöchen,
ich habe hier diese Aussage, die offensichtlich falsch sein soll. Meine Überlegung war, dass es ja ein 2D-Kreis ist.
Die Randpunkte gehören auf jeden Fall im [mm] \IR^{2} [/mm] nicht zur Menge und sie wäre auch abgeschlossen, also kompakt.
Im [mm] \IR^{3} [/mm] erschließt sich mir das noch nicht ganz.
Habe ich dort also als Randpunkte alle Punkte der Menge? Oder gar keine Randpunkte? Wenn alle Punkte der Menge Randpunkte im [mm] \IR^{3} [/mm] wären, wäre die Menge ja abgeschlossen, im anderen Fall weder offen noch abgeschlossen.
Was ist A denn genau?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Menge A = [mm]\{(x,y,z) \in \IR^{3} | x^{2} + y^{2} < 1, z=0\} \subseteq \IR^{3}[/mm]
> ist offen und beschränkt.
> Hallöchen,
>
> ich habe hier diese Aussage, die offensichtlich falsch sein
> soll. Meine Überlegung war, dass es ja ein 2D-Kreis ist.
> Die Randpunkte gehören auf jeden Fall im [mm]\IR^{2}[/mm] nicht zur
> Menge und sie wäre auch abgeschlossen, also kompakt.
> Im [mm]\IR^{3}[/mm] erschließt sich mir das noch nicht ganz.
> Habe ich dort also als Randpunkte alle Punkte der Menge?
> Oder gar keine Randpunkte? Wenn alle Punkte der Menge
> Randpunkte im [mm]\IR^{3}[/mm] wären, wäre die Menge ja
> abgeschlossen, im anderen Fall weder offen noch
> abgeschlossen.
>
> Was ist A denn genau?
Zeichne ein xyz - Koordinatensytem. In die xy-Ebene zeichne die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. Diese Fläche ist die Menge A.
FRED
> Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 09.10.2012 | | Autor: | Duden |
Danke schonmal, jedoch hatte ich das ja schon in meinem Text geschrieben, die Frage war vielmehr:
Was sind die Randpunkte?
Welche Randpunkte sind in A enthalten?
Viele Grüße
Duden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 09.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke schonmal, jedoch hatte ich das ja schon in meinem
> Text geschrieben, die Frage war vielmehr:
>
> Was sind die Randpunkte?
Randpunkte sind alle diejenigen Punkte, in deren offenen Umgebungen sowohl Punkte aus A wie auch Punkte außerhalb von A liegen.
> Welche Randpunkte sind in A enthalten?
Betrachte einen beliebigen Punkt der Menge A und schau dir eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] davon an. Liegt diese Umgebung vollständig in A oder nicht? Ist die Antwort für jeden Wert von [mm] $\epsilon$ [/mm] ein Nein, so ist die Menge nicht offen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 09.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Menge A = [mm]\{(x,y,z) \in \IR^{3} | x^{2} + y^{2} < 1, z=0\} \subseteq \IR^{3}[/mm]
> ist offen und beschränkt.
> Hallöchen,
>
> ich habe hier diese Aussage, die offensichtlich falsch sein
> soll. Meine Überlegung war, dass es ja ein 2D-Kreis ist.
> Die Randpunkte gehören auf jeden Fall im [mm]\IR^{2}[/mm] nicht zur
> Menge und sie wäre auch abgeschlossen, also kompakt.
Nein, als Teilmenge der xy-Ebene ist sie offen und nicht abgeschlossen. DIe Kreislinie, die den Rand bildet, gehört doch nicht zur Menge, also kann sie auch nicht abegschlossen sein!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
