Menge konstanter Funktionen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 26.05.2011 | | Autor: | uac |
| Aufgabe | Der metrische Raum $X$ sei gleich der Menge der beschränkten Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] mit der durch die Supremumsnorm erzeugten Metrik, also $X = { f: [mm] \IR \to \IR: [/mm] ||f||_sup < [mm] \infty [/mm] } und
$A = { f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) =$ const. $} [mm] \subseteq [/mm] X$
also die Menge der konstanten Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Geben Sie das Innere, den Abschluss, den Rand, die Menge der Häufungspunkte und die Menge der isolierten Punkte von A an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
kann mir jemand sagen, ob meine Antworten so stimmen? (A enthält ja sozusagen die x-Achse und alle Paralellen und deckt die ganze Ebene ab..)
Inneres von A = A
Abschluss von A = A
Rand von A = { }
Menge der HP von A = A
Menge der IP von A = { }
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Der metrische Raum $X$ sei gleich der Menge der
> beschränkten Funktionen von [mm]$\IR$[/mm] nach [mm]$\IR$[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit der
> durch die Supremumsnorm erzeugten Metrik, also $X = { f:
> [mm]\IR \to \IR:[/mm] ||f||_sup < [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und
>
> [mm]A = { f: \IR \to \IR, f(x) =[/mm] const. [mm]} \subseteq X[/mm]
>
> also die Menge der konstanten Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm].
>
> Geben Sie das Innere, den Abschluss, den Rand, die Menge
> der Häufungspunkte und die Menge der isolierten Punkte von
> A an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> kann mir jemand sagen, ob meine Antworten so stimmen? (A
> enthält ja sozusagen die x-Achse und alle Paralellen und
> deckt die ganze Ebene ab..)
Es wäre nicht schlecht gewesen, wenn Du die helfende Gemeinde an Deinen Überlegungen hättest teilhaben lassen. Dann kann man nämlich sehen, wo es bei Dir klemmt.
Ich habe leider nur den Eindruck, dass Du blind im Nebel stocherst.
>
> Inneres von A = A
Das ist schon mal falsch.
Die Funktion [mm] f_0 \equiv [/mm] 0 gehört zu A. Wäre nun [mm] f_0 [/mm] ein innerer Punkt von A, so gäbe es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit:
f [mm] \in [/mm] X, [mm] $||f-f_0||< \varepsilon \Rightarrow [/mm] f [mm] \in [/mm] A.
Dann nehmen wir uns mal die Funktion $f(x):= [mm] \bruch{\varepsilon}{2}sin(x)$ [/mm] zur Brust.
Dieses f erfüllt : f [mm] \in [/mm] X, [mm] $||f-f_0||< \varepsilon. [/mm] Wenn Du recht hättest, wäre f [mm] \in [/mm] A, also konstant !
[mm] f_0 [/mm] gehört also zu A, ist aber kein innerer Punkt von A
FRED
> Abschluss von A = A
> Rand von A = { }
> Menge der HP von A = A
> Menge der IP von A = { }
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