Menge aller (n x n)-Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl und M die Menge aller (n [mm] \times [/mm] n)-Matrizen über [mm] \IR [/mm] , versehen mit der Matrizenaddition + und der Matrizenmultiplikation * . Richtig oder Falsch?
1.) M mit + ist eine abelsche Gruppe
2.) M\ {0} mit * ist eine Gruppe (0 bezeichnet hier die Nullmatrix)
3.) M mit * hat keine von 0 verschiedenen Nullteiler (das heißt
aus A*B =0 folgt dort stets A=0 [mm] \wedge [/mm] B=0 |
Hallo!
Also, das habe ich mir dazu überlegt:
1.) Richtig
Es werden alle Axiome für eine additive abelsche Gruppe erfüllt und
insbesondere auch die Kommutativität, die bei Matrizen nur bei der
Addition gilt, aber nicht bei der Multiplikation.
2.) Richtig
Hier sind alle Aximone für eine multiplikative Gruppe erfüllt. Das
entscheidende dabei ist, dass es keine ABELSCHE Gruppe ist, da keine
multiplikative Kommutativität für Matrizen gilt.
3.) Falsch
Gegenbeispiel:
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Würd' mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte ob meine Überlegungen richtig oder falsch sind :)
Vielen Dank!
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei n [mm]\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl und M die Menge aller (n
> [mm]\times[/mm] n)-Matrizen über [mm]\IR[/mm] , versehen mit der
> Matrizenaddition + und der Matrizenmultiplikation * .
> Richtig oder Falsch?
>
> 1.) M mit + ist eine abelsche Gruppe
> 2.) M\ {0} mit * ist eine Gruppe (0 bezeichnet hier die
> Nullmatrix)
> 3.) M mit * hat keine von 0 verschiedenen Nullteiler (das
> heißt
> aus A*B =0 folgt dort stets A=0 [mm]\wedge[/mm] B=0
> Hallo!
> Also, das habe ich mir dazu überlegt:
>
> 1.) Richtig
Ja.
> Es werden alle Axiome für eine additive abelsche
> Gruppe erfüllt und
> insbesondere auch die Kommutativität, die bei Matrizen nur
> bei der
> Addition gilt, aber nicht bei der Multiplikation.
>
>
> 2.) Richtig
Nein !
> Hier sind alle Aximone für eine multiplikative
> Gruppe erfüllt.
Da hast Du aber deneben gegriffen ! In M\ {0} mit * gibt es ein Einselement , die Einheitsmatrix E , aber gibt es denn zu jedem A in M\ {0} ein B in M\ {0} mit
A*B= E = B*A
???? M\ {0} mit * ist keine Gruppe !!!
> Das
> entscheidende dabei ist, dass es keine ABELSCHE Gruppe ist,
> da keine
> multiplikative Kommutativität für Matrizen gilt.
>
>
> 3.) Falsch
> Gegenbeispiel:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }[/mm] * [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
O.K.
FRED
>
> Würd' mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte ob meine
> Überlegungen richtig oder falsch sind :)
> Vielen Dank!
> MFG
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Hallo!
Das hatte ich nicht bedacht.
Danke!
MFG
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