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Hi!
Es wurde behauptet, dass die Menge M := {1, 2, 3, 4, 5} abzählbar ist. In meinem Buch steht aber, dass eine Menge dann abzählbar ist, wenn sie gleichmächtig wie [mm] \IN [/mm] ist. M ist doch aber nur dann gleichmächtig wie [mm] \IN, [/mm] wenn es eine bijektive Abbildung M [mm] \mapsto \IN [/mm] und (?) [mm] \IN \mapsto [/mm] M gibt. Und eine Abbildung ist laut Wikipedia nur dann bijektiv, wenn "sie verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (sie also injektiv ist), und wenn zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt (sie also surjektiv ist)".
[mm] \IN \mapsto [/mm] M ist eine bijektive Abbildung, oder? (z.B. [mm] 0\mapsto1, 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto4, 4\mapsto5 [/mm] - allerdings wird so nicht jedem Element des Definitionsbereichs eines des Wertebereichs zugewiesen - es steht aber auch nirgendwo, dass das was macht).
[mm] \IN \mapsto [/mm] M ist aber nicht bijektiv, oder?
Insofern ist M nicht abzählbar, nicht wahr?
Wie ihr seht, stecken hier mehrere Fragen drin ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 25.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alle endlichen Mengen sind abzaehlbar! Weil das so selbverstaendlich ist, wird oft gar nicht ueber endliche mengen und abzaehlbar geredet. Du siehst doch selbst,dass du die menge der elemente nennen , also abzaehlen kannst. erst wenn man zu unendlichen Mengen kommt, wird der begriff der Abzaehlbarkeit sinnvoll. Mengen die so sind wie die reellen zahlen nennt man abzaehlbar, auch wenn man keine Zahl fuer die anzahl der el. angeben kann.
Gruss leduart
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aber M ist doch nicht gleichmächtig wie [mm] \IN [/mm] ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 25.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
Da hast du gerade zwei verschiedene Definitionen von "abzählbar" an der Hand.
Normalerweise meint man mit "abzählbar" "entweder endlich oder genauso mächtig wie [mm] \IN". [/mm] Dies wird oft auch mit "höchstens abzählbar" bezeichnet.
Was in deinem Buch steht ist "abzählbar unendlich", also gleichmächtig zu [mm] \IN, [/mm] was endliche Mengen ausschliesst.
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ah, das erklärt so einiges! Danke!
meine zweite Frage ist aber noch offen: Ist eine Abbildung nur dann bijektiv, wenn auch jedem Element des Definitionsbereich ein Element des Wertebereichs zugeordnet wird?
Lässt sich {1, 2, 3} bijektiv auf {5, 7} abbilden? [mm] (1\mapsto5, 2\mapsto7).
[/mm]
Ist es eventuell sogar per Definition so, dass in jeder Abbildung "alle Elemente des Definitionsbereich auf etwas im Wertebereich zielen müssen"?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 25.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Lässt sich {1, 2, 3} bijektiv auf {5, 7} abbilden?
> [mm](1\mapsto5, 2\mapsto7).[/mm]
Nein.
> Ist es eventuell sogar per Definition so, dass in jeder
> Abbildung "alle Elemente des Definitionsbereich auf etwas
> im Wertebereich zielen müssen"?
Ja, genau.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 25.01.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
alles klar, ich danke euch!
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