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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 09.05.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Sei (M,d) metrischer Raum und E [mm] \subset [/mm] M offen und G [mm] \subset [/mm] M abgeschlossen. Zeige, [mm] E\backslashG [/mm] ist offen (E ohne G ist offen). |
Hi,
leider weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll; wenn ich mir die Mengen vorstelle, ist das für mich klar, aber ich weiß eben nicht, wie ich das formal zeige.
Kann mir das jemand zeigen?
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo barsch!
> Sei $(M,d)$ metrischer Raum und [mm]E \subset M[/mm] offen und
> [mm]G \subset M[/mm] abgeschlossen. Zeige, [mm]E \backslash G[/mm] ist offen.
>
> leider weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll; wenn ich
> mir die Mengen vorstelle, ist das für mich klar, aber ich
> weiß eben nicht, wie ich das formal zeige.
Das haengt ganz davon ab, wie abgeschlossen und offen bei euch definiert ist und was ihr schon darueber wisst. Wisst ihr zum Beispiel, dass die Komplemente von abgeschlossenen Mengen offen sind? Dann ist ja $M [mm] \setminus [/mm] G$ offen, und es ist $E [mm] \setminus [/mm] G = E [mm] \cap [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] G)$. Wenn du also weisst, dass der Schnitt zweier offener Mengen offen ist, bist du schon fertig. Ansonsten musst du das halt noch beweisen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mi 09.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Das haengt ganz davon ab, wie abgeschlossen und offen bei
> euch definiert ist und was ihr schon darueber wisst. Wisst
> ihr zum Beispiel, dass die Komplemente von abgeschlossenen
> Mengen offen sind? Dann ist ja [mm]M \setminus G[/mm] offen, und es
> ist [mm]E \setminus G = E \cap (M \setminus G)[/mm]. Wenn du also
> weisst, dass der Schnitt zweier offener Mengen offen ist,
> bist du schon fertig. Ansonsten musst du das halt noch
> beweisen.
Ja, dass haben wir bewiesen.
Also reicht es, wenn man [mm]M \setminus G[/mm] offen und [mm]E \setminus G = E \cap (M \setminus G)[/mm] sagt. Daraus folgt dann, dass
[mm] E\backslash [/mm] G offen?
> LG Felix
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Das haengt ganz davon ab, wie abgeschlossen und offen bei
> > euch definiert ist und was ihr schon darueber wisst. Wisst
> > ihr zum Beispiel, dass die Komplemente von abgeschlossenen
> > Mengen offen sind? Dann ist ja [mm]M \setminus G[/mm] offen, und es
> > ist [mm]E \setminus G = E \cap (M \setminus G)[/mm]. Wenn du also
> > weisst, dass der Schnitt zweier offener Mengen offen ist,
> > bist du schon fertig. Ansonsten musst du das halt noch
> > beweisen.
>
> Ja, dass haben wir bewiesen.
>
> Also reicht es, wenn man [mm]M \setminus G[/mm] offen und [mm]E \setminus G = E \cap (M \setminus G)[/mm]
> sagt. Daraus folgt dann, dass
> [mm]E\backslash[/mm] G offen?
genau. Eventuell musst du noch die Gleichung $E [mm] \setminus [/mm] G = E [mm] \cap [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] G)$ zeigen, aber das ist ja eigentlich recht klar... :)
LG Felix
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