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Hallo!
Das Problem wäre allgemein das Volumen einer kugel vom Radius R mittels doppel und Dreifachintegral zu bestimmen.
Nun denke ich dass es hier auf jedenfall sinnvoll ist Kugelkoordinaten zu verwenden, d.h. ich setzte für die allgemeine Kugelfkt. [mm] x^2+y^2+z^2=R^2 [/mm] für x = rcos [mm] \alpha* [/mm] sin [mm] \beta [/mm] ; y=rsin [mm] \alpha sin\beta [/mm] ; z = rcos [mm] \beta [/mm] richtig???
Wie komme ich dann auf die jeweiligen Integrationsgrenzen für das doppel und Dreifachintegral???
Wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar!
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Hallo darkcoldknight!
Soviel kann ich dir sagen:
[mm] \integral [/mm] dV = [mm] \integral\integral\integral [/mm] dxdydz = [mm] \integral\integral\integral r^2 sin(\alpha) d\alpha d\beta [/mm] dr
Prinzipiell sollte man mit deinen Angaben
> allgemeine Kugelfkt. [mm]x^2+y^2+z^2=R^2[/mm] für x = rcos [mm]\alpha*[/mm]
> sin [mm]\beta[/mm] ; y=rsin [mm]\alpha sin\beta[/mm] ; z = rcos [mm]\beta[/mm]
dahin kommen, wie genau, kann ich dir nicht sagen - ich glaube, dazu verwendet man die sogenannte Funktionaldeterminante, mit der ich mich aber nciht auskenne.
Wir haben uns das immer graphisch klargemacht. ![[]](/images/popup.gif) Dies ist nicht die beste Abbildung, aber grad die einzige, die ich gefunden habe. Vielleicht reicht es aber schon, um das zu verdeutlichen, wie die Differentiale zu wählen sind!
Die Grenzen sehen dann folgendermaßen aus.
r : von 0 bis R (dann haben wir quasi eine Gerade entlang des Radius)
[mm] \beta [/mm] : von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] (mit der Geraden sind wir dann einmal um 360° "gefahren", haben also nun einen Kreis)
[mm] \alpha [/mm] : von 0 bis [mm] \pi [/mm] (hier nur noch bis pi!! warum, wird eigentlich recht deutlich, wenn du dir mal einen Teller nimmst und den um 180° bzw. 360° drehst, bei 180° entsteht eine Kugel, bei 360° entsteht die Kugel quasi zweimal!)
Hoffe, das hilft dir etwas...
Gruß Tran
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