Mehrdimensionales Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich habe in einem Buch ein für mich etwas seltsames Integral gefunden. Und zwar gilt Folgendes:
[mm] \begin{pmatrix}
\nabla_tx(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}x(t,\gamma)^\mathsf{T}\\
\nabla_t\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T}
\end{pmatrix} &=
A(t,\gamma)B(t,\gamma), \qquad (1) [/mm]
dann steht hier,
[mm]
\begin{pmatrix}
x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\
\lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0)
\end{pmatrix} =
\int_{0}^{1}A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma)
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} d\xi
[/mm]
Das habe ich mir durch die folgenden Zwischenschritte versucht zu erklären:
[mm]
\begin{pmatrix}
x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\
\lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0)
\end{pmatrix} =
\int_{0}^{(t,\gamma)^\mathsf{T}}
\begin{pmatrix}
\nabla_tx(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}x(t,\gamma)^\mathsf{T}\\
\nabla_t\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T}
\end{pmatrix}
d \begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} \\ \label{1211}
&\overset{(1)}= \int_{0}^{(t,\gamma)^\mathsf{T}} A(t,\gamma)B(t,\gamma)d
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix}
\overset{\text{Subst.:}}{\underset{\substack{\xi(t,\gamma)^\mathsf{T} = (t,\gamma)^\mathsf{T}}}{=}}\int_{0}^{1}A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma)
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} d\xi[/mm]
Also einfach so, wie man es im Eindimensionalen machen würde. Allerdings bin ich mir bei der Schreibweise unsicher, da ich ja hier im Mehrdimensionalen bin und mir das so etwas seltsam vorkommt. Ich habe dies so in einer Arbeit stehen und es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet ob ich das so stehen lassen kann oder ob die Schreibweise so falsch ist?!
Ist die folgende Schreibweise besser?
[mm]
\begin{pmatrix}
x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\
\lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0)
\end{pmatrix} =
\int_{[0,t]\times[0,\gamma]}
\begin{pmatrix}
\nabla_tx(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}x(t,\gamma)^\mathsf{T}\\
\nabla_t\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T}
\end{pmatrix}
d \begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} \\ \label{1211}
&\overset{(1)}= \int_{[0,t]\times[0,\gamma]}A(t,\gamma)B(t,\gamma)d
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix}
= \int_{0}^{1}A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma)
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} d\xi[/mm]
Viele Grüße
Lisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich habe in einem Buch ein für mich etwas seltsames
> Integral gefunden. Und zwar gilt Folgendes:
> [mm]\begin{pmatrix}
\nabla_tx(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}x(t,\gamma)^\mathsf{T}\\
\nabla_t\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T}
\end{pmatrix} &=
A(t,\gamma)B(t,\gamma), \qquad (1)[/mm]
> dann steht hier,
> [mm]
\begin{pmatrix}
x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\
\lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0)
\end{pmatrix} =
\int_{0}^{1}A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma)
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} d\xi
[/mm]
>
> Das habe ich mir durch die folgenden Zwischenschritte
> versucht zu erklären:
> [mm]
\begin{pmatrix}
x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\
\lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0)
\end{pmatrix} =
\int_{0}^{(t,\gamma)^\mathsf{T}}
Dieses Integral ist schon völlig unsinnig !! Untere Integrationsgrenze eine Zahl, obere Integrationsgrenze ein Vektor ?! ??
\begin{pmatrix}
\nabla_tx(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}x(t,\gamma)^\mathsf{T}\\
\nabla_t\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T}
\end{pmatrix}
d \begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} \\ \label{1211}
&\overset{(1)}= \int_{0}^{(t,\gamma)^\mathsf{T}} A(t,\gamma)B(t,\gamma)d
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix}
\overset{\text{Subst.:}}{\underset{\substack{\xi(t,\gamma)^\mathsf{T} = (t,\gamma)^\mathsf{T}}}{=}}\int_{0}^{1}A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma)
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} d\xi[/mm]
>
> Also einfach so, wie man es im Eindimensionalen machen
> würde. Allerdings bin ich mir bei der Schreibweise
> unsicher, da ich ja hier im Mehrdimensionalen bin und mir
> das so etwas seltsam vorkommt. Ich habe dies so in einer
> Arbeit stehen und es wäre super, wenn ihr mir sagen
> könntet ob ich das so stehen lassen kann oder ob die
> Schreibweise so falsch ist?!
>
> Ist die folgende Schreibweise besser?
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\
\lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0)
\end{pmatrix} =
\int_{[0,t]\times[0,\gamma]}
\begin{pmatrix}
\nabla_tx(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}x(t,\gamma)^\mathsf{T}\\
\nabla_t\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T} & \nabla_{\gamma}\lambda(t,\gamma)^\mathsf{T}
\end{pmatrix}
d \begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} \\ \label{1211}
&\overset{(1)}= \int_{[0,t]\times[0,\gamma]}A(t,\gamma)B(t,\gamma)d
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix}
= \int_{0}^{1}A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma)
\begin{pmatrix}
t\\
\gamma
\end{pmatrix} d\xi[/mm]
Das ist völliger Murks !!!
Für [mm] \xi \in [/mm] [0,1] setze
[mm] f(\xi):=x(\xi t,\xi \gamma) [/mm] und [mm] g(\xi):=\lambda (\xi t,\xi \gamma)
[/mm]
Rechne nach (mehrdimensionale Kettenregel !):
[mm] A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma) \begin{pmatrix} t\\ \gamma \end{pmatrix} =\vektor{f'(\xi) \\ g'(\xi)}
[/mm]
Dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{A(\xi t,\xi \gamma)B(\xi t,\xi \gamma) \begin{pmatrix} t\\ \gamma \end{pmatrix} d \xi}=\integral_{0}^{1}{\vektor{f'(\xi) \\ g'(\xi)} d \xi}=\vektor{f(1)-f(0) \\ g(1)-g(0)}=\begin{pmatrix} x(t,\gamma) - {x}(0,0)\\ \lambda(t,\gamma) - {\lambda}(0,0) \end{pmatrix} [/mm]
FRED
>
>
> Viele Grüße
> Lisa
|
|
|
|
