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Mehrdimensionales Integral: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Mo 08.02.2010
Autor: Sacha

Aufgabe
Berechne [mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x} [/mm]

Kann mir jemand einen Tipp geben, welchen Weg ich einschlagen muss, damit ich dieses Intgegral berechnen kann?
Zu meinem Background ist Analysis III vorhanden, also Integrationstheorie in [mm] \IR^{n}. [/mm]

Danke schon im voraus für eure Mühe!!

        
Bezug
Mehrdimensionales Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Mo 08.02.2010
Autor: fred97


> Berechne [mm]\integral_{\IR^{n}}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}[/mm]
>  
> Kann mir jemand einen Tipp geben, welchen Weg ich
> einschlagen muss, damit ich dieses Intgegral berechnen
> kann?
> Zu meinem Background ist Analysis III vorhanden, also
> Integrationstheorie in [mm]\IR^{n}.[/mm]


Das ist gut. Sei R >0 und [mm] K_R [/mm] die Kugel um 0 mit Radius R. Sei weiter

              $ [mm] \omega_n [/mm] = n*$Volumen der Einheits kugel im [mm] \IR^n, [/mm]

also

              [mm] $\omega_n [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$, [/mm]

wobei [mm] \Gamma [/mm] die Gamma-Funktion bez.

Mit Polarkoordinaten (im [mm] \IR^n) [/mm] siehst Du:

         $ [mm] \integral_{K_R}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}= \omega_n* \integral_{0}^{R}{r^{n-1}e^{-r}dr}$. [/mm]

Dann ist

             $ [mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}= \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{K_R}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}$ [/mm]

FRED


>  
> Danke schon im voraus für eure Mühe!!


Bezug
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