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| Aufgabe | Eine Zufallsvariable X, welche nur positive, reelle Werte annehmen kann, und für die gilt, dass ihr Logarithmus Y := ln(X) einer Normalverteilung [mm] N(\mu;\sigma^2) [/mm] folgt, heißt lognormalverteilt mit den Parametern [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^2, [/mm] kurz: [mm] X\simLN(\mu;\sigma^2).
[/mm]
c) Bestimmen sie den Median von X. |
Hallo,
ich hab bei folgender Teilaufgabe eine Frage zur Musterlösung.
Ich habe die Aufgabe einfach mit Hilfe folgender Formel http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Normalverteilung#Quantile aus Wikipedia gelöst in meinem Skript steht diese Formel jedoch nicht und die Musterlösung hat scheinbar auch einen anderen Ansatz, da aber im Skript nichts zu der Lognormalverteilung steht weiss ich auch nicht wo der Ansatz liegt.
Die Musterlösung sieht folgendermaßen aus:
0,5 = [mm] P(X\le x_0,5) [/mm] = [mm] P(ln(X)\le ln(x_0,5)), [/mm] also muss [mm] ln(x_0,5) [/mm] = [mm] \mu [/mm] gelten. (Warum muss der Erwartungswert, denn gleich dem Median sein? Wäre das nicht nur bei gleichverteilten Verteilungsfunktionen direkt ableitbar?) Daraus folgt, dass [mm] x_0,5 [/mm] = [mm] e^{\mu}.
[/mm]
(Das ist die Formel, mit der ich auch den Median berechnet habe, aber ich würde gerne wissen, wo der Ansatzpunkt der Musterlösung liegt.)
Mfg
K.R.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Mi 25.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
laut Wikipedia ist der Erwartungswert
$ [mm] \operatorname{E}(X) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int\limits_{0}^{+\infty} [/mm] x [mm] \; \frac{\mathrm{e}^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{x} \; \operatorname{d}x [/mm] = [mm] \mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}} [/mm] $.
Wo ist also das Problem?
vg Luis
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