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| Aufgabe | Es seien m [mm] \in \IN, [/mm] f [mm] \in \mathcal{O}(\IC) [/mm] und es gelte [mm] |f(z)|\le|z|^{m} [/mm] für alle z in [mm] \IC. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] f(z)=c*z^{m}
[/mm]
für ein c [mm] \in \IC^{\*}, [/mm] falls f nicht konstant ist. |
Guten Abend zusammen,
leider bin ich bei dieser Aufgabe ziemlich überfragt und könnte eure Hilfe gebrauchen.
[mm] \mathcal{O} [/mm] bezeichnet die Menge der holomorphen Funktionen; [mm] \IC^{\*}=\IC [/mm] \ {0}
Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Einerseits riecht es nach dem Maximumsprinzip und f müsste konstant sein, ist es aber nicht. Anderseits könnte es sein, dass Lionville eine Rolle spielt, aber irgendwie steht ich auf dem Schlauch und wäre daher um eure Hilfe dankbar!
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien m [mm]\in \IN,[/mm] f [mm]\in \mathcal{O}(\IC)[/mm] und es gelte
> [mm]|f(z)|\le|z|^{m}[/mm] für alle z in [mm]\IC.[/mm] Zeigen Sie:
> [mm]f(z)=c*z^{m}[/mm]
> für ein c [mm]\in \IC^{\*},[/mm] falls f nicht konstant ist.
> Guten Abend zusammen,
>
> leider bin ich bei dieser Aufgabe ziemlich überfragt und
> könnte eure Hilfe gebrauchen.
> [mm]\mathcal{O}[/mm] bezeichnet die Menge der holomorphen
> Funktionen; [mm]\IC^{\*}=\IC[/mm] \ {0}
> Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Einerseits
> riecht es nach dem Maximumsprinzip und f müsste konstant
> sein, ist es aber nicht. Anderseits könnte es sein, dass
> Lionville eine Rolle spielt, aber irgendwie steht ich auf
> dem Schlauch und wäre daher um eure Hilfe dankbar!
Schreibe erstmal $f(z) = [mm] z^k \cdot [/mm] g(z)$ mit $g(0) [mm] \neq [/mm] 1$ (weisst du warum das geht?).
Zeige zuerst: $k < m$. Finde einen Widerspruch zur Annahme $|f(z)| [mm] \le |z|^m$, [/mm] indem du $|z| [mm] \to [/mm] 0$ anschaust.
Schau dir jetzt den Fall $k > m$ an. Zeige, dass $|f(z)| [mm] \le |z|^m$ [/mm] nicht gelten kann, indem du $|z| [mm] \to \infty$ [/mm] anschaust (wenn es gelten wuerde, dann waer $g$ beschraenkt und fuer $|z| [mm] \to \infty$ [/mm] muesste $g(z) [mm] \to [/mm] 0$ gelten -- was bedeutet das?).
Also ist $k = m$. Kannst du jetzt noch was ueber $g$ aussagen?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] g(z):=f(z)/z^m [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0.
Dann ist |g(z)| [mm] \le [/mm] 1 für z [mm] \ne [/mm] 0. Somit hat g in z=0 eine hebbare Sing.
Also ist g eine ganze und beshränkte Funktion.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Setze [mm]g(z):=f(z)/z^m[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Dann ist |g(z)| [mm]\le[/mm] 1 für z [mm]\ne[/mm] 0. Somit hat g in z=0
> eine hebbare Sing.
mit dem Hebbarkeitssatz geht es natuerlich um einiges eleganter 
(Da haette ich auch selber drauf kommen koennen...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > Setze [mm]g(z):=f(z)/z^m[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Dann ist |g(z)| [mm]\le[/mm] 1 für z [mm]\ne[/mm] 0. Somit hat g in z=0
> > eine hebbare Sing.
>
> mit dem Hebbarkeitssatz geht es natuerlich um einiges
> eleganter
>
> (Da haette ich auch selber drauf kommen koennen...)
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
es gilt allgemeiner (mit der gleichen Methode):
Sind f und g ganze Funktionen mit $|f| [mm] \le [/mm] |g|$ auf [mm] \IC, [/mm] so gibt es ein c [mm] \in \IC [/mm] mit:
f=cg auf [mm] \IC
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> es gilt allgemeiner (mit der gleichen Methode):
>
> Sind f und g ganze Funktionen mit [mm]|f| \le |g|[/mm] auf [mm]\IC,[/mm] so
> gibt es ein c [mm]\in \IC[/mm] mit:
>
> f=cg auf [mm]\IC[/mm]
ja, und es gilt sogar $|c| [mm] \le [/mm] 1$ :)
Mit meiner Methode ist das "etwas" muehsamer zu zeigen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
sein, ist es aber nicht. Anderseits könnte es sein, dass
> Lionville eine Rolle spielt,
... die Löwenstadt .. ?
Mann, der Mann heißt Liouville.
FRED
> Beste Grüße
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