Maximums-Prinzip im Reellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mi 09.01.2008 | | Autor: | tb1804 |
| Aufgabe | Es seien D [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] offen und beschränkt und f [mm] \in C(\overline{D}, \IR^{n}) [/mm] (Menge der stetigen Funktionen von 'D abgeschlossen' nach [mm] \IR^{n}), [/mm] so dass [mm] f|_{D} \in C^{1}(D,\IR^{n}) [/mm] (Menge der stetig diffbaren Funtionen von D nach [mm] \IR^{n}) [/mm] gilt und alle f'(x), x [mm] \in [/mm] D invertierbar sind.
Zeigen Sie, dass [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] sein Maximum nicht in D annehmen kann und folgern Sie [mm] sup_{x \in \overline{D}} \parallel [/mm] f(x) [mm] \parallel [/mm] = [mm] sup_{x \in \delta D} \parallel [/mm] f(x) [mm] \parallel. [/mm] ("Das Supremum auf D abgeschlossen liegt auf dem Rand von D")
Diskutieren Die den Zusammenahng dieser Aussage mit dem Maximums-Prinzip der Funktionentheorie.
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Liebe GesinnungsgenossINNen,
Die obige Aufgabe gilt es examensadäquat zu lösen und ich scheine hier ein Brett vor dem Kopf zu haben bzw. den (richtigen) Ansatz nicht zu sehen und auch nicht zu finden. Für alle Ansätze bin ich jetzt schon dankbar!
Soweit ich die Sache einschätze, wäre für einen ersten Ansatz der Satz über Umkehrbarkeit hilfreich, der besagt, dass an allen regulären Punkten eine Umkehrfunktion existiert. Aber wie lässt sich das nun auf die Nicht-Existenz eines Maximums in D (offen) anwenden.
Viele Grüße,
Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tom!
> Es seien D [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] offen und beschränkt und f [mm]\in C(\overline{D}, \IR^{n})[/mm]
> (Menge der stetigen Funktionen von 'D abgeschlossen' nach
> [mm]\IR^{n}),[/mm] so dass [mm]f|_{D} \in C^{1}(D,\IR^{n})[/mm] (Menge der
> stetig diffbaren Funtionen von D nach [mm]\IR^{n})[/mm] gilt und
> alle f'(x), x [mm]\in[/mm] D invertierbar sind.
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] sein Maximum nicht
> in D annehmen kann und folgern Sie [mm]sup_{x \in \overline{D}} \parallel[/mm]
> f(x) [mm]\parallel[/mm] = [mm]sup_{x \in \delta D} \parallel[/mm] f(x)
> [mm]\parallel.[/mm] ("Das Supremum auf D abgeschlossen liegt auf dem
> Rand von D")
> Diskutieren Die den Zusammenahng dieser Aussage mit dem
> Maximums-Prinzip der Funktionentheorie.
>
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> Liebe GesinnungsgenossINNen,
> Die obige Aufgabe gilt es examensadäquat zu lösen und ich
> scheine hier ein Brett vor dem Kopf zu haben bzw. den
> (richtigen) Ansatz nicht zu sehen und auch nicht zu finden.
> Für alle Ansätze bin ich jetzt schon dankbar!
>
> Soweit ich die Sache einschätze, wäre für einen ersten
> Ansatz der Satz über Umkehrbarkeit hilfreich, der besagt,
> dass an allen regulären Punkten eine Umkehrfunktion
> existiert. Aber wie lässt sich das nun auf die
> Nicht-Existenz eines Maximums in D (offen) anwenden.
Fang mal mit dem einfachsten Fall n=1 an: eine Funktion [mm]f:[a,b]\rightarrow\IR[/mm] stetig und stetig diff'bar auf [mm](a,b)[/mm], [mm]f'(x)\not=0[/mm] für alle [mm]x\in(a,b)[/mm].
Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximums von [mm]\|f\|[/mm] in [mm](a,b)[/mm] ist
[mm]\bruch{d}{dx} \|f(x)\| = 0 \gdw \bruch{d}{dx}\|f(x)\|^2 = 0 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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