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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Di 09.12.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Delta:=\Delta_1(0)$ [/mm] und sei
[mm] $f:\mathbb{C}\setminus \left\{2\right\}\to\mathbb{C},\ z\to\frac{z^2+2}{z-2}$
[/mm]
gegeben. Bestimmen Sie [mm] $|f|_{\overline{\Delta}}:=\sup\left\{|f(z)|\ | z\in\overline{\Delta}\right\}$. [/mm] |
Hallo zusammen,
wäre toll, wenn jemand meinen Lösungsansatz kommentieren könnte.
Die Funktion $f$ ist im Bereich [mm] $\mathbb{C}\setminus \left\{2\right\}$ [/mm] als rationale Funktion komplex differenzierbar. Die Einheitskreisschreibe [mm] $\Delta:=\Delta_1(0)$ [/mm] liegt in diesem Bereich. Damit kann die Mittelwertungleichung bzw. die Variante von Landau verwendet werden:
Für alle [mm] $z\in\Delta$ [/mm] gilt: [mm] $|f(z)|\leq |f|_{\partial\Delta}$.
[/mm]
An dieser Stelle hakt es noch etwas, da ich nicht wirklich sehe, wie ich $|f(z)|$ auf dem Rand des Einheitskreises abschätzen kann. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei |z| = 1. Dann ist 1 [mm] \le [/mm] |z-2|, also [mm] \bruch{1}{|z-2|} \le [/mm] 1.
Somit: |f(z)| [mm] \le |z^2+2| \le |z|^2+2 [/mm] = 3
Es ist f(1) = -3, also |f(1)| = 3.
Fazit : max { |f(z)| : |z| = 1} = 3
FRED
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