Maximum einer linearen Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen, aber bei einem Schritt stehe ich grad total auf dem Schlauch.
Situation ist folgende: ich habe eine lineare Funktion f (dass sie stetig bzw beschränkt ist ist zu zeigen) und eine (endliche) Basis [mm] b_i.
[/mm]
Wieso ist nun das Maximum über alle i für [mm] \parallel f(b_i) \parallel [/mm] eine Konstante [mm] <\infty [/mm] ?
Also dass das Maximum konstant ist ist klar, aber wieso ist es sicher [mm] <\infty [/mm] ? Das hat bestimmt was mit der Basis zu tun, oder? Wie gesagt: Ich stehe total auf dem Schlauch... *peinlich*
Gruß,
die Prinzessin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen, aber bei
> einem Schritt stehe ich grad total auf dem Schlauch.
> Situation ist folgende: ich habe eine lineare Funktion f
> (dass sie stetig bzw beschränkt ist ist zu zeigen) und
> eine (endliche) Basis [mm]b_i.[/mm]
> Wieso ist nun das Maximum über alle i für [mm]\parallel f(b_i) \parallel[/mm]
> eine Konstante [mm]<\infty[/mm] ?
> Also dass das Maximum konstant ist ist klar, aber wieso
> ist es sicher [mm]<\infty[/mm] ? Das hat bestimmt was mit der Basis
> zu tun, oder? Wie gesagt: Ich stehe total auf dem
> Schlauch... *peinlich*
Du schreibst doch, dass die Basis endlich ist, Du hast also endlich viele Basisvektoren [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_n
[/mm]
Dann berechnest Du [mm] $||f(b_1)||,..., ||f(b_n)||$. [/mm] Das sind endlich (!) viele nichtnegative Zahlen, dann ist
$max [mm] \{||f(b_1)||,..., ||f(b_n)|| \}$
[/mm]
eine nicht negative Zahl.
FRED
>
> Gruß,
> die Prinzessin
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Hi!
Danke für deine Antwort! Ich frag aber nochmal ganz doof nach 
Kann denn nicht irgendeins der [mm] \parallel f(b_i) \parallel [/mm] = [mm] \infty [/mm] sein? So dass das Maximum dann natürlich auch = [mm] \infty [/mm] wäre? Vermutlich nicht, wenn ich den Beweis betrachte, aber ich komme einfach nicht drauf wieso...
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Danke für deine Antwort! Ich frag aber nochmal ganz doof
> nach
> Kann denn nicht irgendeins der [mm]\parallel f(b_i) \parallel[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] sein?
Nein. Ich vermute, f ist eine lineare Abbildung eines normierten Raumes X in einen zweiten normierten Raum Y. Dann : [mm] $f(b_i) \in [/mm] Y$ und [mm] $||f(b_i)||$ [/mm] ist die Norm von [mm] f(b_i)
[/mm]
FRED
> So dass das Maximum dann natürlich auch =
> [mm]\infty[/mm] wäre? Vermutlich nicht, wenn ich den Beweis
> betrachte, aber ich komme einfach nicht drauf wieso...
>
> Gruß,
> die Prinzessin
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Hi!
> Ich vermute, f ist eine lineare Abbildung eines
> normierten Raumes X in einen zweiten normierten Raum Y.
Ja, sorry, das hatte ich unterschlagen.
> Dann : [mm]f(b_i) \in Y[/mm] und [mm]||f(b_i)||[/mm] ist die Norm von [mm]f(b_i)[/mm]
Und wieso genau ist das [mm] <\infty? [/mm] Weil die Basis endlich ist? Weil f linear ist?
Die Norm an sich ist ja nicht unbedingt beschränkt (oder?) und Y könnte ja auch unendlichdimensional sein...
Tut mir echt leid, dass ich deine Geduld strapaziere... Ich weiß, dass es eigentlich ganz einfach ist, aber ich komme momentan absolut nicht drauf.
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> > Ich vermute, f ist eine lineare Abbildung eines
> > normierten Raumes X in einen zweiten normierten Raum Y.
> Ja, sorry, das hatte ich unterschlagen.
>
> > Dann : [mm]f(b_i) \in Y[/mm] und [mm]||f(b_i)||[/mm] ist die Norm von [mm]f(b_i)[/mm]
> Und wieso genau ist das [mm]<\infty?[/mm] Weil die Basis endlich
> ist? Weil f linear ist?
Das hat mit all dem übergaupt nichts zu tun !
Ist x Element eines normierten Raumes, so ist die Norm $||x|| [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)$
[/mm]
(nach Def. des Begriffs "Norm", so ist das nun mal, da kannst Du Dich auf den Kopf stellen und mit der Hüfte wackeln, ändern wirst Du es nicht)
> Die Norm an sich ist ja nicht unbedingt beschränkt
> (oder?) und Y könnte ja auch unendlichdimensional sein...
>
> Tut mir echt leid, dass ich deine Geduld strapaziere...
Es gibt schlimmeres
FRED
> Ich
> weiß, dass es eigentlich ganz einfach ist, aber ich komme
> momentan absolut nicht drauf.
>
> Gruß,
> die Prinzessin
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Hi!
Vielen Dank für deine Geduld!
> Ist x Element eines normierten Raumes, so ist die Norm
> [mm]||x|| \in [0, \infty)[/mm]
> (nach Def. des Begriffs "Norm")
Das hatte sich mir so nicht aus der Defintion erschlossen, aber ich werde es mir merken und noch ein weiteres Mal gründlich nachlesen.
Danke nochmal!
Gruß,
die Prinzessin
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