Maximum auf einer Menge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 15.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] M\subset {\IR}^2 [/mm] definiert durch M:= [mm] \{(x,y)\in {\IR}^2 | x^2+2y^2 \le 1\}.
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] M\to \IR, f(x,y):=x^2y^2.
[/mm]
ii) Bestimmen Sie das Maximum von f auf M. |
Hi!
Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar ist mir nicht ganz klar, was ich hier zeigen soll. Ich habe schon gezeigt, dass die Menge abgeschlossen, beschränkt und kompakt ist. Und da es sich um ein Polynom handelt ist die Funktion auch stetig. Ich weiß ja schon, dass ein Maximum existiert, aber wie ich es zeigen kann, ist mir nicht so ganz klar.
Ich hoffe, ihr könnte mir ein paar Hinweise diesbezüglich geben. Mir ist auch nicht ganz klar, wie ich dieses Maximum dann bestimmen kann.
Ich bedanke mich schonmal und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 15.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]M\subset {\IR}^2[/mm] definiert durch M:= [mm]\{(x,y)\in {\IR}^2 | x^2+2y^2 \le 1\}.[/mm]
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> i) Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm]M\to \IR, f(x,y):=x^2y^2.[/mm]
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> ii) Bestimmen Sie das Maximum von f auf M.
> Hi!
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> Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar ist mir
> nicht ganz klar, was ich hier zeigen soll. Ich habe schon
> gezeigt, dass die Menge abgeschlossen, beschränkt und
> kompakt ist. Und da es sich um ein Polynom handelt ist die
> Funktion auch stetig. Ich weiß ja schon, dass ein Maximum
> existiert, aber wie ich es zeigen kann, ist mir nicht so
> ganz klar.
Die Existenz des Maximums von f auf M hast Du doch gezeigt: M ist kompakt, f ist stetig auf M , fertig !
> Ich hoffe, ihr könnte mir ein paar Hinweise
> diesbezüglich geben. Mir ist auch nicht ganz klar, wie ich
> dieses Maximum dann bestimmen kann.
Untersuche f auf Extremstellen in [mm] M^0 [/mm] und dann auf Extremstellen in [mm] \partial [/mm] M.
FRED
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> Ich bedanke mich schonmal und viele Grüße, Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 15.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die Antwort. War mir einfach nicht sicher, ob das als Antowort ausreicht, aber das tut es ja, danke.
Jetzt meine Vermutung zu den Extremstellen. Die inneren Punkte dürften ja nur ein Supremum haben mit dem Wert 1 und kein Maximum, da es sich ja um ein offenes Intervall handelt. Der Rand besitzt sowohl Supremum, als auch Maximum mi dem Wert ein. Nun ist mir allerdings nicht ganz klar, wie ich das begründen soll, bzw. wie ich das aufschreiben kann, damit man es nachvollziehen kann.
Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen.
Schon mal danke im Voraus!
Viele Grüße, Petrit!
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Hallo Petrit,
Warum gehst du nicht nach dem Standard-Verfahren vor?
1.) Gradient von f Null setzen und die kritischen Punkte bestimmen.
2.) Dann schauen, ob Punkte Maximum/Minimum - oder auch weder noch.
3.) Rand betrachten.
Natürlich ist hier klar, dass [mm] f(x)\ge0 [/mm] für alle [mm] (x,y)\in\IR^2. [/mm]
Das Maximum auf dem Rand.
Wenn du nun den Gleichung für den Rand umformst und in f(x,y) einsetzt, so kannst hast du eine Funktion einer Variablen und kannst so die Extrempunkte bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
Habs nun hin bekommen.
Gruß Petrit!
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Hi nochmal,
> Sei [mm]M\subset {\IR}^2[/mm] definiert durch M:= [mm]\{(x,y)\in {\IR}^2 | x^2+2y^2 \le 1\}.[/mm]
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> i) Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm]M\to \IR, f(x,y):=x^2y^2.[/mm]
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> ii) Bestimmen Sie das Maximum von f auf M.
> Hi!
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> Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar ist mir
> nicht ganz klar, was ich hier zeigen soll. Ich habe schon
> gezeigt, dass die Menge abgeschlossen, beschränkt und
> kompakt ist.
Ja, klingt bisschen witzig. Wir sind ja im [mm] \IR^2. [/mm] Daher gilt
M abgeschlossen und beschränkt => M ist kompakt.
> Und da es sich um ein Polynom handelt ist die
> Funktion auch stetig. Ich weiß ja schon, dass ein Maximum
> existiert, aber wie ich es zeigen kann, ist mir nicht so
> ganz klar.
> Ich hoffe, ihr könnte mir ein paar Hinweise
> diesbezüglich geben. Mir ist auch nicht ganz klar, wie ich
> dieses Maximum dann bestimmen kann.
>
> Ich bedanke mich schonmal und viele Grüße, Petrit!
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