Maximum Likelihood Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mo 05.01.2009 | | Autor: | daria |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schäter als Schätzer für den Parameter a [mm] \in \IR_{+}\setminus\{0\} [/mm] einer Gleichverteilung auf dem Intervall [a,3a]. |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen kann?
Vielen vielen Dank!
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Hallo,
ich würde mich hier zunächst fragen, was denn die Likelihoodfunktion ist bzw. wie man sie bildet. Weißt du das , wenn nicht dann schau hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Maximum-Likelihood-Methode. Von dieser musst du dann das Maximum bestimmen.
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mi 11.02.2009 | | Autor: | daria |
okay, also die Dichte ist ja gerade [mm] $\frac{1}{b-a} [/mm] = [mm] \frac{1}{2a}$
[/mm]
doch wie heisst jetzt meine Maximum-Likelihood-Funktion ?
Hängt die von der Variable a ab? Muss ich nach a maximieren/ ableiten?
Das ist mir noch unklar. Sonst habe ich ja immer ein x (bzw. eine Variable nach der ich maximieren kann). Ist das hier mein a?
$L(a) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a}$ [/mm] das ist ja gerade $ n [mm] \frac{1}{2a}$.
[/mm]
Soll ich das jetzt nach a ableiten?
Vielen dank!!
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Hallo,
> okay, also die Dichte ist ja gerade [mm]\frac{1}{b-a} = \frac{1}{2a}[/mm]
>
> doch wie heisst jetzt meine Maximum-Likelihood-Funktion ?
> Hängt die von der Variable a ab? Muss ich nach a
> maximieren/ ableiten?
> Das ist mir noch unklar. Sonst habe ich ja immer ein x
> (bzw. eine Variable nach der ich maximieren kann). Ist das
> hier mein a?
> [mm]L(a) = \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a}[/mm] das ist ja gerade [mm]n \frac{1}{2a}[/mm].
>
> Soll ich das jetzt nach a ableiten?
>
> Vielen dank!!
Ist nicht
[mm]L(a) = \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a} = \left(\frac{1}{2a} \right)^n[/mm]
?
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 11.02.2009 | | Autor: | daria |
oh ja genau.
$ L(a) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a} [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2a} \right)^n [/mm] $
wie soll es jetzt weitergehen? soll ich das für $a$ maximieren, also nach $a$ ableiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mi 11.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin daria
> oh ja genau.
>
> [mm]L(a) = \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a} = \left(\frac{1}{2a} \right)^n[/mm]
>
Bitte etwas genauer: Wie sieht die Likelihoodfunktion aus,
wenn du die Zahlen [mm] $x_1=2$, $x_2=1$ [/mm] und [mm] $x_3=5$ [/mm] beobachtest?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 11.02.2009 | | Autor: | daria |
wie meinst du das?
sind diese [mm] $x_{1},x_{2},x_{3} \in [/mm] [a,3a]$ oder nehme ich als $a$ einfach den kleinsten und als $b$ den größten beobachteten Wert?
die wahrscheinlichkeiten der auftreten sind ja immer [mm] $\bruch{1}{n}$
[/mm]
wie komme ich jetzt auf die Likelihoodfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mi 11.02.2009 | | Autor: | luis52 |
>> wie meinst du das?
>
> sind diese [mm]x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,3a][/mm]
Natuerlich. $a$ muss also so gewaehlt werden, dass gilt [mm]x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,3a][/mm]. Bedenke: [mm] $x_{1}=4,x_{2}=2,x_{3}=5$ [/mm] sind die Daten, gegen die kannst du nicht an (habe die Werte geaendert, sonst haut mein didaktisch wertvolles Beispiel nicht hin). Kann dann a=1/2 sein? Kann dann $a=5$ sein? Welche Werte kannst du fuer a waehlen? Wie sieht L(a) aus fuer "unmoegliche" Werte von a? Wie fuer moegliche?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 11.02.2009 | | Autor: | daria |
okay, also muss für dieses beispiel $a [mm] \ge [/mm] 2$ sein, weil unser kleinster wert 2 ist.
Für unmögliche Werte ist $L(a)=0$
Nur wie sieht er jetzt für mögliche aus?
wenn a=2 ist dann ist [mm] $L(a)=\bruch{1}{4}^{3}$ [/mm] das kann doch auch nicht sein...
und wie bringe ich hier das maximum-liklihood-prinzip ein? also das ich ableite/maximiere..
ich steh immernoch aufm schlauch =(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 11.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> okay, also muss für dieses beispiel [mm]a \ge 2[/mm] sein, weil
> unser kleinster wert 2 ist.
Das reicht nicht, a darf nicht 10 sein.
Also: a=0.5 geht nicht, da dann 3a=1.5, so dass die Werte nicht [a,3a] liegen. L(0.5)=0
a=1 geht auch nicht: [a,3a]=[1,3], L(1)=0
a=1.7 geht: [a,3a]=[1.7,5.1], [mm] L(1.7)=1/1.7^3=0.2
[/mm]
a=2 geht: [a,3a]=[2,6], [mm] L(2)=1/2^3=0.125.
[/mm]
a>2 geht nicht, L(a)=0
Allgemein muss gelten [mm] $a\le [/mm] m$ und [mm] $3a\le [/mm] M$ mit [mm] $m=\min\{x_1,\dots,x_n\}$ [/mm] und [mm] $M=\max\{x_1,\dots,x_n\}$. [/mm] Das ist aequivalent mit
[mm] $M/3\le a\le [/mm] m$. Fuer *solche* Werte gilt [mm] $L(a)=1/a^n$, [/mm] anderenfalls ist $L(a)=0$. L ist in $[M/3, m]$ streng monoton fallend, so dass du hier das Randmaximum in [mm] $\hat [/mm] a=M/3$ erhaeltst. (Hier hilft Differenzieren nicht weiter).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 11.02.2009 | | Autor: | daria |
Vielen vielen Dank!
Ich glaube jetzt hab ichs verstanden!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mi 11.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Vielen vielen Dank!
Gerne.
> Ich glaube jetzt hab ichs verstanden!!!
>
Prima.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Fr 13.02.2009 | | Autor: | daria |
noch eine kleine Frage:
Lautet dann $f(x)$ eigentlich
[mm] $f(x)=\bruch{1}{b-a}*1_{[a,b]}(x)$
[/mm]
und somit
[mm] $L(a)=\produkt_{i=1}^{n} (\bruch{1}{b-a}*1_{[a,b]}(x))$ [/mm] ?
Dann ist mir einiges klarer *g*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 13.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> noch eine kleine Frage:
>
> Lautet dann [mm]f(x)[/mm] eigentlich
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{b-a}*1_{[b-a]}(x)[/mm]
> und somit
> [mm]L(a)=\produkt_{i=1}^{n} (\bruch{1}{b-a}*1_{[b-a]}(x))[/mm] ?
>
> Dann ist mir einiges klarer *g*
Fast:
[mm]L(a)=\produkt_{i=1}^{n} (\bruch{1}{b-a}*1_{[b-a]}(\red{x_i}))[/mm]
vg Luis
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