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Forum "mathematische Statistik" - Maximum Likelihood Schätzer
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Maximum Likelihood Schätzer: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Mo 05.01.2009
Autor: daria

Aufgabe
Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schäter als Schätzer für den Parameter a [mm] \in \IR_{+}\setminus\{0\} [/mm] einer Gleichverteilung auf dem Intervall [a,3a].

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen kann?
Vielen vielen Dank!

        
Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Di 06.01.2009
Autor: steffenhst

Hallo,

ich würde mich hier zunächst fragen, was denn die Likelihoodfunktion ist bzw. wie man sie bildet. Weißt du das , wenn nicht dann schau hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Maximum-Likelihood-Methode. Von dieser musst du dann das Maximum bestimmen.

Grüße, Steffen

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Maximum Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mi 11.02.2009
Autor: daria

okay, also die Dichte ist ja gerade [mm] $\frac{1}{b-a} [/mm] = [mm] \frac{1}{2a}$ [/mm]
doch wie  heisst jetzt meine Maximum-Likelihood-Funktion ?
Hängt die von der Variable a ab? Muss ich nach a maximieren/ ableiten?
Das ist mir noch unklar. Sonst habe ich ja immer ein x (bzw. eine Variable nach der ich maximieren kann). Ist das hier mein a?
$L(a) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a}$ [/mm] das ist ja gerade $ n [mm] \frac{1}{2a}$. [/mm]
Soll ich das jetzt nach a ableiten?

Vielen dank!!

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Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 11.02.2009
Autor: Martinius

Hallo,

> okay, also die Dichte ist ja gerade [mm]\frac{1}{b-a} = \frac{1}{2a}[/mm]
>  
> doch wie  heisst jetzt meine Maximum-Likelihood-Funktion ?
>  Hängt die von der Variable a ab? Muss ich nach a
> maximieren/ ableiten?
>  Das ist mir noch unklar. Sonst habe ich ja immer ein x
> (bzw. eine Variable nach der ich maximieren kann). Ist das
> hier mein a?
>  [mm]L(a) = \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a}[/mm] das ist ja gerade [mm]n \frac{1}{2a}[/mm].
>  
> Soll ich das jetzt nach a ableiten?
>  
> Vielen dank!!


Ist nicht

[mm]L(a) = \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a} = \left(\frac{1}{2a} \right)^n[/mm]


?

LG, Martinius

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Maximum Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mi 11.02.2009
Autor: daria

oh ja genau.

$ L(a) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a} [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2a} \right)^n [/mm] $

wie soll es jetzt weitergehen? soll ich das für $a$ maximieren, also nach $a$ ableiten?



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Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Mi 11.02.2009
Autor: luis52

Moin daria

> oh ja genau.
>  
> [mm]L(a) = \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{2a} = \left(\frac{1}{2a} \right)^n[/mm]
>  

Bitte etwas genauer: Wie sieht die Likelihoodfunktion aus,
wenn du die Zahlen [mm] $x_1=2$, $x_2=1$ [/mm] und [mm] $x_3=5$ [/mm] beobachtest?

vg Luis

Bezug
                                                
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Maximum Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Mi 11.02.2009
Autor: daria

wie meinst du das?

sind diese [mm] $x_{1},x_{2},x_{3} \in [/mm] [a,3a]$ oder nehme ich als $a$ einfach den kleinsten und als $b$ den größten beobachteten Wert?
die wahrscheinlichkeiten der auftreten sind ja immer [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm]

wie komme ich jetzt auf die Likelihoodfunktion?


Bezug
                                                        
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Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Mi 11.02.2009
Autor: luis52

>> wie meinst du das?
>

> sind diese [mm]x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,3a][/mm]

Natuerlich. $a$ muss also so gewaehlt werden, dass gilt [mm]x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,3a][/mm]. Bedenke: [mm] $x_{1}=4,x_{2}=2,x_{3}=5$ [/mm] sind die Daten, gegen die kannst du nicht an (habe die Werte geaendert, sonst haut mein didaktisch wertvolles Beispiel nicht hin). Kann dann a=1/2 sein? Kann dann $a=5$ sein? Welche Werte kannst du fuer a waehlen? Wie sieht L(a) aus fuer "unmoegliche" Werte von a? Wie fuer moegliche?


vg Luis
            

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Maximum Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Mi 11.02.2009
Autor: daria

okay, also muss für dieses beispiel $a [mm] \ge [/mm] 2$ sein, weil unser kleinster wert 2 ist.

Für unmögliche Werte ist $L(a)=0$
Nur wie sieht er jetzt für mögliche aus?

wenn a=2 ist dann ist [mm] $L(a)=\bruch{1}{4}^{3}$ [/mm] das kann doch auch nicht sein...

und wie bringe ich hier das maximum-liklihood-prinzip ein? also das ich ableite/maximiere..
ich steh immernoch aufm schlauch =(

Bezug
                                                                        
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Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mi 11.02.2009
Autor: luis52


> okay, also muss für dieses beispiel [mm]a \ge 2[/mm] sein, weil
> unser kleinster wert 2 ist.

Das reicht nicht, a darf nicht 10 sein.

Also: a=0.5 geht nicht, da dann 3a=1.5, so dass die Werte nicht [a,3a] liegen.  L(0.5)=0
a=1 geht auch nicht: [a,3a]=[1,3], L(1)=0
a=1.7 geht: [a,3a]=[1.7,5.1], [mm] L(1.7)=1/1.7^3=0.2 [/mm]
a=2 geht: [a,3a]=[2,6], [mm] L(2)=1/2^3=0.125. [/mm]
a>2 geht nicht, L(a)=0

Allgemein muss gelten [mm] $a\le [/mm] m$ und [mm] $3a\le [/mm] M$ mit [mm] $m=\min\{x_1,\dots,x_n\}$ [/mm] und [mm] $M=\max\{x_1,\dots,x_n\}$. [/mm] Das ist aequivalent mit
[mm] $M/3\le a\le [/mm] m$. Fuer *solche* Werte gilt [mm] $L(a)=1/a^n$, [/mm] anderenfalls ist $L(a)=0$. L ist in $[M/3, m]$ streng monoton fallend, so dass du hier das Randmaximum in [mm] $\hat [/mm] a=M/3$ erhaeltst. (Hier hilft Differenzieren nicht weiter).

vg Luis






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Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:30 Mi 11.02.2009
Autor: daria

Vielen vielen Dank!
Ich glaube jetzt hab ichs verstanden!!!


Bezug
                                                                                        
Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Mi 11.02.2009
Autor: luis52


> Vielen vielen Dank!

Gerne.

>  Ich glaube jetzt hab ichs verstanden!!!
>  

Prima.

vg Luis


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Maximum Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Fr 13.02.2009
Autor: daria

noch eine kleine Frage:

Lautet dann $f(x)$ eigentlich

[mm] $f(x)=\bruch{1}{b-a}*1_{[a,b]}(x)$ [/mm]
und somit
[mm] $L(a)=\produkt_{i=1}^{n} (\bruch{1}{b-a}*1_{[a,b]}(x))$ [/mm]  ?

Dann ist mir einiges klarer *g*

Bezug
                                                                                        
Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Fr 13.02.2009
Autor: luis52


> noch eine kleine Frage:
>  
> Lautet dann [mm]f(x)[/mm] eigentlich
>  
> [mm]f(x)=\bruch{1}{b-a}*1_{[b-a]}(x)[/mm]
>  und somit
> [mm]L(a)=\produkt_{i=1}^{n} (\bruch{1}{b-a}*1_{[b-a]}(x))[/mm]  ?
>  
> Dann ist mir einiges klarer *g*

Fast:

[mm]L(a)=\produkt_{i=1}^{n} (\bruch{1}{b-a}*1_{[b-a]}(\red{x_i}))[/mm]

vg Luis


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