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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Maximum Likelihood Schätzer
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Maximum Likelihood Schätzer: Umformung unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 Mi 02.07.2008
Autor: wolfe

Aufgabe
Die verschobene Exponentialverteilung habe die Dichte

f(x) = [mm] \lambda*e^{-\lambda (x-\theta)} [/mm] für x [mm] \ge \theta, \thetha [/mm] > 0
f(x) = 0 sonst
[mm] \lambda [/mm] > 0.

Es soll mit Hilfe Hilfe der Maximum Likelihood SChätzfunktion [mm] X_{min} [/mm] für den Parameter [mm] \theta [/mm] ein zweiseitiges Konfidenzintervall der GEstalt [mm] [X_{min}-c; X_{min}+c] [/mm] zum Kofidenzniveau [mm] \gamma [/mm] bestimmt werden.

Lösung:
Da [mm] X_{min} [/mm] nicht kleiner als [mm] \theta [/mm] sein kann, gilt

[mm] \gamma [/mm] = [mm] P(X_{min} [/mm] - c [mm] \le \theta \le X_{min} [/mm] + c
= [mm] P(\theta \le X_{min} \le \theta [/mm] +c) = 1 - [mm] e^{-n\lambda (\theta + c - \theta)} [/mm]

Wie kommt man auf den letzten Schritt?

Hallo,
wie komme ich auf den letzten Schritt? Ich kann den nicht nachvollziehen.

Ich hätte dafür

$ [mm] \lambda\cdot{}e^{-\lambda (x-\theta)} [/mm] * [mm] \lambda\cdot{}e^{-\lambda (x+1-\theta)}*...*\lambda\cdot{}e^{-\lambda (x+c-\theta)} [/mm]  $
geschrieben.

Dies lässt sich aber nicht zur Lösung vereinfachen.
Kann mir das jemand idiotensicher erklären'?


Danke schon mal, wolfe

        
Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Mi 02.07.2008
Autor: luis52

>
> [mm]\gamma[/mm] = [mm]P(X_{min}[/mm] - c [mm]\le \theta \le X_{min}[/mm] + c
>  = [mm]P(\theta \le X_{min} \le \theta[/mm] +c) = 1 - [mm]e^{-n\lambda (\theta + c - \theta)}[/mm]
>  
> Wie kommt man auf den letzten Schritt?
>  Hallo,
>  wie komme ich auf den letzten Schritt? Ich kann den nicht
> nachvollziehen.
>  

In einer frueheren Zusendung von dir wurde gezeigt

[mm] $P(X_\text{min} \ge x)=\exp(-n\lambda(x-\theta))$. [/mm] Es folgt [mm] $P(X_\text{min} \le x)=1-\exp(-n\lambda(x-\theta))$. [/mm] Nutze das aus.

vg Luis          

Bezug
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