Maximum-likelihood < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | | Bei einem Züchtungsexperiment treten die drei Genotypen auf DD,Dd bzw.dd mit den W'keiten [mm] $p^2,2p(1-p)$ [/mm] bzw. [mm] $(1-p)^2$ [/mm] für ein $p[0,1]$auf. Bei $n $unabhängigen Durchführungen dieses Experiments traten die Genotypen [mm] $n_1,n_2 [/mm] $ bzw. [mm] $n_3$ [/mm] mal auf $( [mm] n_1+n_2+n_3=n)$. [/mm] Bestimmen sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter $p$ |
ich glaub es ist die geometrische Verteilung,weiss dennoch nicht wie ich die Likehood machen soll
ist dieser Ansatz richtig?
[mm] $L(p;x_1,...,x_n)= \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2$
[/mm]
jetzt
[mm] $Log(L(p;x_1,...,x_n))= [/mm] Log( [mm] \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2)$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Di 03.02.2015 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]Log(L(p;x_1,...,x_n))= Log( \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wie geht's weiter?
Uebrigens, die Schreibweise fuer den Logarithmus lautet [mm] $\log$ [/mm] oder [mm] $\ln$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
1.Ich habe einen Fehler bemerkt! alle summe müssen von $ i=1$ ab laufen
[mm] $log(L(p;x_1,...,x_n))= [/mm] log( [mm] \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=1}^{n_3}(1-p)^2) [/mm] =log( [mm] p^{2n_1} \cdot{} (2p(1-p))^{n_2}\cdot{} (1-p)^{2\cdot{}n_3}) =2n_1\cdot{}Log(p)+ n_2\cdot{}log((2p(1-p))+ 2n_3\cdot{}log((1-p))$
[/mm]
jetzt [mm] $(log(L(p;x_1,...,x_n)))'= \frac{2n_1}{p}+\frac{n_2\cdot(2-4p)}{(2p(1-p)} [/mm] - [mm] \frac{2n_3}{1-p} [/mm] $
für extrema [mm] $log(L(p;x_1,...,x_n)))'= \frac{2n_1}{p}+\frac{n_2\cdot(2-4p)}{(2p(1-p)} [/mm] - [mm] \frac{2n_3}{1-p} [/mm] =0 $
nun komme ich nicht weiter wie ich umformen soll ..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 03.02.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin, hier wuehle ich mich nicht durch.
*Ich* erhalte aus [mm] $L(p)=2^{n_2}p^{2n_1+n_2}(1-p)^{n_2+2n_3}$:
[/mm]
[mm] $\log L(p)=\alpha+(2n_1+n_2)\log p+(n_2+2n_3)\log(1-p)$, $(\log L(p))'=\frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p}$ [/mm]
...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
hab nochmal nachgrechnet und hab das jetzt auch raus !! :)
$ [mm] (\log L(p))'=\frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] $
jetzt null setzen
$ [mm] (\log L(p))'=\frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] = 0 $
[mm] $\gdw \frac{2n_1+n_2}{p} [/mm] = [mm] \frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] $
[mm] $\gdw (2n_1+n_2)\dot{}\frac{1}{p} [/mm] = [mm] (n_2+2n_3)\cdot{}\frac{1}{1-p} [/mm] $
[mm] $\gdw (2n_1+n_2) [/mm] = [mm] (n_2+2n_3)\cdot{}\frac{p}{1-p} [/mm] $
[mm] $\gdw \frac{(2n_1+n_2)}{(n_2+2n_3)}= p*\frac{1}{1-p} [/mm] $
jetzt geo.reihe
[mm] $\gdw \frac{(2n_1+n_2)}{(n_2+2n_3)}= p*\summe_{k=1}^{n} p^k$
[/mm]
jetzt ka ..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Di 03.02.2015 | | Autor: | luis52 |
Die Aufgabe lautet: Bestimmen sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter $ p $
Du hast richtig erkannt, dass sie die Gleichung
$ [mm] \frac{2n_1+n_2}{p}-\frac{n_2+2n_3}{1-p} [/mm] = 0 $
erfuellen muss. Die Loesung lautet
[mm] $\hat [/mm] p= [mm] \frac{2n_1+n_2}{2n}$.
[/mm]
Ende der Durchsage, nix geo.reihe.
Schoen waere es, wenn du noch die hinreichende Bedingung ueberpruefen wuerdest ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
hin.Bed.:
[mm] $(logL(p))^{(2)}= -\frac{2n_1+n_2}{p^2}+\frac{n_2+2n_3}{(1-p)^2}<0$ [/mm] und das ist $<0$ ,damit liegt ein Maximum vor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 03.02.2015 | | Autor: | luis52 |
> hin.Bed.:
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> [mm](logL(p))^{(2)}= -\frac{2n_1+n_2}{p^2}+\frac{n_2+2n_3}{(1-p)^2}<0[/mm]
Grrh!
[mm](\log L(p))^{(2)}= -\frac{2n_1+n_2}{p^2}\red{-}\frac{n_2+2n_3}{(1-p)^2}<0[/mm]
> und das ist [mm]<0[/mm] ,damit liegt ein Maximum vor
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
Danke Luis52 für deine kompetente Hilfe! gibst eigentlich Tricks(loglikeli) bei ML die man beachten sollte? Ich frage ,weil ich ihn dieser Woche noch Klausur schreibe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Di 03.02.2015 | | Autor: | luis52 |
> gibst eigentlich
> Tricks(loglikeli) bei ML die man beachten sollte?
Ja, gehe nicht nach Schema F vor. Es kann vorkommen, dass du die
Likelihoodfunktion nicht mit Mitteln der Differentialrechnung optimieren
musst, insbesondere dann, wenn die Parameter nur endlich viele Werte
sein koennen. Es kann auch vorkommen, dass ein Randmaximum angenommen
wird.
Habe leider kein Beispiel parat, aber suche mal hier im MR nach
Likelihood.
> Ich frage
> ,weil ich ihn dieser Woche noch Klausur schreibe :)
Alles Gute.
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