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Maximum-Likelihood-Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Do 17.02.2011
Autor: LuisA44

Aufgabe
Seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhängig und identisch verteilt. Das Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] P^X [/mm] habe die Dichte
[mm] f_\nu [/mm] (x)= [mm] \bruch{1}{\nu}x^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x) [/mm] mit [mm] \nu \in (0,\infty). [/mm] Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \nu. [/mm]

Hallo Forum,

es bereitet mir Probleme bei dieser Aufgabe den Maximum-Likelihood-Schätzer zu bestimmen.

Also ich habe versucht:

Betrachte zunächst:

[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{1}{\nu}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i) [/mm]

[mm] =\bruch{1}{\nu^n}\produkt_{i=1}^{n}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i) [/mm]


So und hier geht es auch schon los :(
Irgendwie muss ich ja das [mm] \nu [/mm] aus dem Produktzeichen rauskriegen, weil ich es ja nachdem ich den Logarithmus angewendet habe ableiten muss oder?
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!

Liebe Grüße
LuisA44

        
Bezug
Maximum-Likelihood-Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Do 17.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo LuisA44,


> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] unabhängig und identisch verteilt. Das
> Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P^X[/mm] habe die Dichte
>  [mm]f_\nu[/mm] (x)= [mm]\bruch{1}{\nu}x^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x)[/mm] mit [mm]\nu \in (0,\infty).[/mm]

> Bestimmen Sie den
> Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\nu.[/mm]
>  Hallo Forum,
>  
> es bereitet mir Probleme bei dieser Aufgabe den
> Maximum-Likelihood-Schätzer zu bestimmen.
>  
> Also ich habe versucht:
>  
> Betrachte zunächst:
>  
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{1}{\nu}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i)[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{\nu^n}\produkt_{i=1}^{n}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i)[/mm]
>  
>
> So und hier geht es auch schon los :(
>  Irgendwie muss ich ja das [mm]\nu[/mm] aus dem Produktzeichen
> rauskriegen, weil ich es ja nachdem ich den Logarithmus
> angewendet habe ableiten muss oder?

Das sieht doch gut aus bisher.

Das oben ist deine Likelihoodfunktion [mm]L(\nu)[/mm]

Nimm nun an, dass alle [mm]X_i>1[/mm] sind, ansonsten ist das Produkt ja =0 und es gibt nichts zu maximieren.

Damit also [mm]L(\nu)=\frac{1}{\nu^n}\cdot{}\prod\limits_{i=1}^{n}X_i^{-\frac{1}{\nu}-1}[/mm]

Maximiere dann die Log-Liklihoodfunktion [mm]\log(L(\nu))[/mm]

[mm]\log\left(\frac{1}{\nu^n}\cdot{}\prod\limits_{i=1}^{n}X_i^{-\frac{1}{\nu}-1}\right)[/mm]

Das nun mit den Logarithmusregeln auseinanderfieseln und dann nach [mm]\nu[/mm] ableiten und [mm]\hat\nu[/mm] bestimmen ...

Dann kontrollieren, ob [mm]\frac{\partial^2}{\partial\nu^2}\log(L(\hat\nu))<0[/mm] ist.

>  Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!
>  
> Liebe Grüße
>  LuisA44


Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Maximum-Likelihood-Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 17.02.2011
Autor: LuisA44

Hey,
Dank erstmal für deine Antwort.

Nun ja ok, wenn ich dann weiter mache:
[mm] l(\nu)=-n*ln(\nu)+(-\bruch{1}{\nu}-1)\summe_{i=1}^{n}ln(X_i) [/mm]

[mm] l'(\nu_)=-\bruch{n}{\nu}+\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i) [/mm]

[mm] l''(\nu)= \bruch{n}{\nu^2}-\bruch{2}{\nu^3}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i) [/mm]

wenn ich dann [mm] l'(\nu)=0 [/mm] setze

[mm] \bruch{n}{\nu}=\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i) [/mm]

[mm] \gdw \hat\nu [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i) [/mm]

Ist das soweit richtig? Weil irgendwie kommt bei mir nicht [mm] l''(\hat\nu)<0 [/mm] raus?
Liebe Grüße
LuisA44

Bezug
                        
Bezug
Maximum-Likelihood-Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 17.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hey,
>  Dank erstmal für deine Antwort.
>  
> Nun ja ok, wenn ich dann weiter mache:
>  
> [mm]l(\nu)=-n*ln(\nu)+(-\bruch{1}{\nu}-1)\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>  
> [mm]l'(\nu_)=-\bruch{n}{\nu}+\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>  
> [mm]l''(\nu)= \bruch{n}{\nu^2}-\bruch{2}{\nu^3}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>  
> wenn ich dann [mm]l'(\nu)=0[/mm] setze
>  
> [mm]\bruch{n}{\nu}=\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>  
> [mm]\gdw \hat\nu[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]

[applaus]

So muss das am Samstag einfach klappen!

;-)

>  
> Ist das soweit richtig? Weil irgendwie kommt bei mir nicht
> [mm]l''(\hat\nu)<0[/mm] raus?

Hmm,

Bedenke, dass wegen [mm]\hat\nu=\frac{1}{n}\cdot{}\sum X_i[/mm] dann [mm]\sum X_i=n\cdot{}\hat\nu[/mm] ist.

Setze das mal für die Summe in [mm]l''[/mm] ein und für die anderen [mm]\nu[/mm] dann das [mm]\hat\nu[/mm]

Ich bekomme [mm]-\frac{n}{\hat\nu^2}[/mm]

Und das ist [mm]<0[/mm]

>  Liebe Grüße
>  LuisA44

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Maximum-Likelihood-Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:10 Fr 18.02.2011
Autor: LuisA44

Hey schachuzipus,
>  
> [applaus]
>  
> So muss das am Samstag einfach klappen!
>  
> ;-)

Woher weißt du das? :-) kannst wohl hellsehen? [anbet]
Ich hoffe...

> >  

> > Ist das soweit richtig? Weil irgendwie kommt bei mir nicht
> > [mm]l''(\hat\nu)<0[/mm] raus?
>  
> Hmm,
>  
> Bedenke, dass wegen [mm]\hat\nu=\frac{1}{n}\cdot{}\sum X_i[/mm] dann
> [mm]\sum X_i=n\cdot{}\hat\nu[/mm] ist.
>  
> Setze das mal für die Summe in [mm]l''[/mm] ein und für die
> anderen [mm]\nu[/mm] dann das [mm]\hat\nu[/mm]
>  
> Ich bekomme [mm]-\frac{n}{\hat\nu^2}[/mm]
>  
> Und das ist [mm]<0[/mm]

Danke für die Hilfe :-)

Bezug
                                        
Bezug
Maximum-Likelihood-Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:13 Fr 18.02.2011
Autor: schachuzipus

Moin LuisA44,


> Hey schachuzipus,
>  >  
> > [applaus]
>  >  
> > So muss das am Samstag einfach klappen!
>  >  
> > ;-)
>  Woher weißt du das? :-) kannst wohl hellsehen? [anbet]

Nein, ich muss ja selber auch ran ...

:-(

>  Ich hoffe...
>  > >  

> > > Ist das soweit richtig? Weil irgendwie kommt bei mir nicht
> > > [mm]l''(\hat\nu)<0[/mm] raus?
>  >  
> > Hmm,
>  >  
> > Bedenke, dass wegen [mm]\hat\nu=\frac{1}{n}\cdot{}\sum X_i[/mm] dann
> > [mm]\sum X_i=n\cdot{}\hat\nu[/mm] ist.
>  >  
> > Setze das mal für die Summe in [mm]l''[/mm] ein und für die
> > anderen [mm]\nu[/mm] dann das [mm]\hat\nu[/mm]
>  >  
> > Ich bekomme [mm]-\frac{n}{\hat\nu^2}[/mm]
>  >  
> > Und das ist [mm]<0[/mm]
>  
> Danke für die Hilfe :-)

Gerne

Viel Erfolg für morgen

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Maximum-Likelihood-Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Fr 18.02.2011
Autor: LuisA44


> Nein, ich muss ja selber auch ran ...
>  
> :-(
>  

Oi ja dann dir auch viel Glück :-)


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