Maximale Fehlerordnung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Fr 09.01.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Wie sind in dem Einschrittverfahren [mm] y_{k+1}=y_k+h(c_1f(x_k,y_k)+c_2f(x_k+ah,y_k+ahf(x_k,y_k))) [/mm] die Parameter a, [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] zu wählen, um die maximale Fehlerordnung zu erhalten? |
Hallo,
kann man das obige Verfahren als zweistufiges Runge-Kutta-Verfahren auffassen? Falls ja so erhalte ich zur Bestimmung der Parameter folgende Bedingungsgleichungen:
1) [mm] c_1+c_2=1
[/mm]
2) [mm] ac_2=1/2
[/mm]
Daraus lassen sich die Parameter allerdings nicht bestimmen.... Man könnte höchstens sagen, dass a und [mm] c_2 [/mm] nicht 0 sind.
Die maximale Fehlerordnung eines 2-stufigen Runge Kutta Verfahrens ist ja 2.
Für eure Hilfe schon mal Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Sa 10.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Ich wäre echt dankbar, wenn mal jemand ueber meine Rechnung drüber schauen könnte. Ist das soweit in Ordnung?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Ich wäre echt dankbar, wenn mal jemand ueber meine
> Rechnung drüber schauen könnte. Ist das soweit in
> Ordnung?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Wie sind in dem Einschrittverfahren
> [mm]y_{k+1}=y_k+h(c_1f(x_k,y_k)+c_2f(x_k+ah,y_k+ahf(x_k,y_k)))[/mm]
> die Parameter a, [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] zu wählen, um die maximale
> Fehlerordnung zu erhalten?
>
> Hallo,
>
> kann man das obige Verfahren als zweistufiges
> Runge-Kutta-Verfahren auffassen? Falls ja so erhalte ich
> zur Bestimmung der Parameter folgende
> Bedingungsgleichungen:
> 1) [mm]c_1+c_2=1[/mm]
> 2) [mm]ac_2=1/2[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus lassen sich die Parameter allerdings nicht
> bestimmen.... Man könnte höchstens sagen, dass a und [mm]c_2[/mm]
> nicht 0 sind.
>
> Die maximale Fehlerordnung eines 2-stufigen Runge Kutta
> Verfahrens ist ja 2.
>
Beim quadratischen Fehlerterm kann man dafür sorgen,
daß das meiste wegfällt. Damit lassen sich dann die
Parameter eindeutig bestimmen.
> Für eure Hilfe schon mal Danke!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 10.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Was genau meinst du denn mit dem quadratischen Fehlerterm?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Was genau meinst du denn mit dem quadratischen Fehlerterm?
Nun, wenn Du bei der Taylorentwicklung auch die 3. Ableitung berpcksichtigst.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Sa 10.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Achso, meinst du dass alle [mm] h^3 [/mm] Terme 0 werden sollen und nur die [mm] h^2 [/mm] Terme übrig bleiben?
Ich habe mich halt gewundert, da wir für ein Einschrittverfahren, das von zweiter Ordnung Sein soll, nur die beiden Bedingungsgleichungen aufgeschrieben hatten, die ich oben genannt habe.
Danke für deine Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Achso, meinst du dass alle [mm]h^3[/mm] Terme 0 werden sollen und
> nur die [mm]h^2[/mm] Terme übrig bleiben?
Nein.
Einerseits ist duch das Verfahren:
[mm]\bruch{y_{k+1}-y_{k}}{h} = \alpha+\beta*h+\gamma*h^{2}+O\left(h^{3}\right)[/mm]
Andererseits ist die Lösung der DGL
[mm]y'=f\left(x,y\right)[/mm]
gegeben durch:
[mm]\bruch{y_{k+1}-y_{k}}{h} = \delta+\epsilon*h+\mu*h^{2}+O\left(h^{3}\right)[/mm]
Jetzt kannst Du die Koeffizienten vor [mm]h^{2}[/mm] miteinander vergleichen.
Und dann die Parameter so bestimmen, dass dieser Term weitestgehend
verschwindet. Dadurch erhältst Du eine 3. Bedingungsgleichung.
> Ich habe mich halt gewundert, da wir für ein
> Einschrittverfahren, das von zweiter Ordnung Sein soll,
> nur die beiden Bedingungsgleichungen aufgeschrieben hatten,
> die ich oben genannt habe.
>
> Danke für deine Hilfe!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 11.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Ich habe das Gefühl, ich bin nur noch ganz kurz von der Lösung entfernt, stehe aber komplett auf dem Schlauch...
Es ist ja
[mm] f(x_k+ah,y_k+ahf(x_k,y_k))=f+ahf_x+ahff_y+O(h^2)
[/mm]
Und [mm] (y_{m+1}-y_m)/h=-y'-1/2hy''+O(h^2)
[/mm]
Also gilt für das Residuum
[mm] R=c_1f+c_2f+c_2ahf_x+c_2ahff_y-y'-1/2h(f_x+ff_y)
[/mm]
Hieraus folgen die Bedingungsgleichungen
[mm] c_1+c_2=1
[/mm]
[mm] ac_2=0,5
[/mm]
Aber welche andere Bedingung - die du meinst - kann ich daraus folgern?
Ich hoffe, du bist von meiner Fragerei nicht allzu genervt 
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Ich habe das Gefühl, ich bin nur noch ganz kurz von der
> Lösung entfernt, stehe aber komplett auf dem Schlauch...
>
> Es ist ja
> [mm]f(x_k+ah,y_k+ahf(x_k,y_k))=f+ahf_x+ahff_y+O(h^2)[/mm]
>
> Und [mm](y_{m+1}-y_m)/h=-y'-1/2hy''+O(h^2)[/mm]
>
> Also gilt für das Residuum
>
> [mm]R=c_1f+c_2f+c_2ahf_x+c_2ahff_y-y'-1/2h(f_x+ff_y)[/mm]
>
> Hieraus folgen die Bedingungsgleichungen
>
> [mm]c_1+c_2=1[/mm]
> [mm]ac_2=0,5[/mm]
>
> Aber welche andere Bedingung - die du meinst - kann ich
> daraus folgern?
>
Nun, ich habe in meinem letzten Post geschrieben,
dass die Terme vor [mm]h^{2}[/mm] auch berücksichtigt
werden sollen.
Wenn Du diese Terme miteinander vergleichst, dann
kannst Du zum größten Teil auch diesen quadratischen
Anteil verschwinden lassen.
> Ich hoffe, du bist von meiner Fragerei nicht allzu genervt
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 So 11.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Ich erhalte dann noch die Gleichung 1/2 [mm] a^2c_2=1/6. [/mm] Mit den beiden anderen Bedingungen folgt, a=2/3 , [mm] c_1=1/4 [/mm] und [mm] c_2=3/4.
[/mm]
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Ich erhalte dann noch die Gleichung 1/2 [mm]a^2c_2=1/6.[/mm] Mit den
> beiden anderen Bedingungen folgt, a=2/3 , [mm]c_1=1/4[/mm] und
> [mm]c_2=3/4.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt so.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Super, danke!
|
|
|
|
