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Hallo,
bezogen auf Thread Link
(- [mm] \bruch{3u³}{16}+ \bruch{9u}{4}*u)* \bruch{1}{2}=
[/mm]
- [mm] \bruch{3u³}{32}+ \bruch{9u}{8}* \bruch{u}{2} [/mm] =
davon die erste Ableitung
( - [mm] \bruch{3u³}{32}+ \bruch{9u}{8}* \bruch{u}{2})`=
[/mm]
- [mm] \bruch{9u²}{32}+ \bruch{9}{8}* \bruch{1}{2} [/mm] =
- [mm] \bruch{9u²}{32}+ \bruch{9}{16} [/mm] *2*u² =
- [mm] \bruch{9u²}{32}+ \bruch{9u²}{32} [/mm] = [mm] \bruch{9u²}{32} [/mm] ?????
aber hier weiss ich nicht mehr weiter ?
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Sa 29.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Masaat,
na, hier ging aber einiges verquer! Eigentlich in jeder Zeile Umformungsfehler.
Ich gehe im Folgenden auf alle einzeln ein, auch wenn schon nach der ersten Zeile der Rest freilich insgesamt falsch ist... :-(
> (- [mm]\bruch{3u³}{16}+ \bruch{9u}{4}*u)* \bruch{1}{2}=[/mm]
>
> - [mm]\bruch{3u³}{32}+ \bruch{9u}{8}* \bruch{u}{2}[/mm] =
Seltsam ausmultipliziert. Du hast übersehen, dass [mm] $\bruch{9u}{4}* [/mm] u$ nur ein einzelner Summand ist, und auch nur einmal mit [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] multipliziert wird. Es müsste also zu [mm] $\bruch{9u}{4}*u*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{9u^2}{8}$ [/mm] werden
Außerdem: Warum machst Du nicht zuerst mal aus [mm] $\bruch{9u}{4}*u [/mm] = [mm] \bruch{9u^2}{4}$ [/mm] ?
Wenn wir nun aber ausgehen von
> $ - [mm] \bruch{3u³}{32}+ \bruch{9u}{8}* \bruch{u}{2}$
[/mm]
dann müsstest Du für den zweiten Summanden [mm] $\bruch{9u}{8}* \bruch{u}{2}$ [/mm] praktisch die Produktregel anwenden.
Aber wie oben, Zusammenfassen zu [mm] $\bruch{9u^2}{16}$ [/mm] und Du kannst stattdessen "normal" ableiten.
Nun aber ausgehend von
> - [mm]\bruch{9u^2}{32}+ \bruch{9}{8}* \bruch{1}{2}[/mm] =
>
> - [mm]\bruch{9u^2}{32}+ \bruch{9}{16}[/mm] [mm] *2*u^2 [/mm] =
Wo kommt das [mm] *2*u^2 [/mm] plötzlich her?
> - [mm]\bruch{9u²}{32}+ \bruch{9u²}{32}[/mm] = [mm]\bruch{9u²}{32}[/mm] ?????
Den vielen Fragezeichen schließe ich mich an. Schließlich ist doch $-a +a = 0$, diese Linke Seite hebt sich doch auf...
Sorry für's Zerpflücken...
Hoffe aber, ich habe damit weiterhelfen können.
Frag gern nach!
Schöne Grüße,
ardik
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Hallo,
- [mm] \bruch{3u³}{16}+ \bruch{9u²}{4}
[/mm]
----------------------------------------------
2
- [mm] \bruch{3u³}{32}+ \bruch{9u²}{8}
[/mm]
Ableitung 1 wäre
- [mm] \bruch{9u²}{32}+ \bruch{18u}{8}
[/mm]
Das Ergebnis soll
[mm] U_{E}= [/mm] - [mm] \wurzel{6} [/mm] sein
Nur wie komme ich von Ableitung eins zu diesem Ergebnis ?
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 29.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin masaat,
wenn du die extremstellen einer funktion bestimmen willst,
musst du 1. die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen und
die Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen.
Ist die zweite Ableitung an der gefundenen Stelle größer null => lokales Minimum, ist die zweite Ableitung an der gefundenen Stelle kleiner null => lokales Maximum; und ist die zeite Ableitung an dieser Stelle gleich null liegt kein Extremum vor.
zu deiner aufgabe:
f(u) = - [mm] \bruch{3}{32} u^3 [/mm] + [mm] \bruch{9}{8} u^2
[/mm]
f'(u) = - [mm] \bruch{9}{32} u^2 [/mm] + [mm] \bruch{18}{8} [/mm] u
Bestimmung der Nullstellen der 1. Ableitung bzw. der waagerechten Tangenten == notwendige Bedingung für Extremwerte
0 = - [mm] \bruch{9}{32} u^2 [/mm] + [mm] \bruch{18}{8} [/mm] u
0 = - [mm] \bruch{9}{32} u^2 [/mm] + [mm] \bruch{72}{32} [/mm] u
0 = [mm] \bruch{9}{32}*u [/mm] * (- 1u + 8)
Für die Nullstellen gilt, wenn einer der Faktoren null wird, ist die Gleichung null, d.h.
u1=0
u2=8 [-u+8=0 ]
in zweite Ableitung einsetzen:
f''(u) = - [mm] \bruch{9}{16} [/mm] u + [mm] \bruch{36}{16} [/mm]
f''(0) = [mm] \bruch{36}{16} [/mm] > 0 => lokales Minimum (0 / f(0)= 0)
f''(8) = - [mm] \bruch{9}{4} [/mm] < 0 => lokales Maximum ( 8 / f(8) =96 )
ich komme aber nicht auf - [mm] \wurzel{6} [/mm] !
gruss
wolfgang
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Hallo,
es besteht wieder mal die Gefahr das sich hier ein GAU aufbaut, deshalb.
| Aufgabe | Gegeben eine Ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3)
Funktionsterm ist [mm] f(x)=-\bruch{3}{16}(x³-12x+16) [/mm]
Im 3. Quadranten wird ein Dreieck so einbeschrieben, daß eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite parallel zur Y-Achse verläuft u. die dritte Seite den Schnittpunkt der 2. Seite mit dem Graphen u. den Wendepunkt miteinander verbindet.
Bei welchem x-Wert muß die 2. Dreiecksseite liegen, wenn der Flächeinhalt des Dreiecks maximal werden soll ? |
Kathete 1=u-0=u
Kathete 2= f(u)+3=- [mm] \bruch{3}{16}(u³-12u+16)+3=-\bruch{3}{16}u³+ \bruch{9}{4}u
[/mm]
Das Ergebnis sollte sein - [mm] \wurzel{6}= A_{max}=A(U_{E})= \bruch{27}{4}
[/mm]
Eigentlich geht es nur darum zu klären, wie ,man auf dieses Ergebnis kommt, die Zwischenschritte ?
Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen.
Hallo masaat. Da du dir so viel Mühe gemacht hast, deine Frage noch einmal zu überarbeiten, soll das natürlich belohnt werden.
Ich rechne es einfach mal stumpf vor. Wenn da Unklarheiten sein sollten, kannst du ja noch einmal nachfragen.
Die Formel für den Flächeninhalt lautete
$ A(u) = 0.5 [mm] Kathete_1*Kathete_2$
[/mm]
[mm] Kathete_2 [/mm] = $ [mm] \text{Kathete 2 (grün)} [/mm] \ = \ f(u)-(-3) \ = \ f(u)+3 \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}\left(u^3-12u+16\right)+3 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}u^3+\bruch{9}{4}u [/mm] $
[mm] Kathete_1=$ \text{Kathete 1 (orange)} [/mm] \ = \ u-0 \ = \ u $
(Siehe entsprechenden Artikel, Link u. a. in der Revisionsgeschichte dieser Frage zu finden)
$ A(u) = 0.5 [mm] *u*(-\bruch{3}{16}u^3+\bruch{9}{4}u)$ [/mm] //Klammer ausmultiplizieren mit u
$A(u) = [mm] 0.5(-\bruch{3}{16}u^4+\bruch{9}{4}u^2)$ [/mm] //Klammer mit 0.5 ausmultiplizieren
$A(u) = [mm] -\bruch{3}{32}u^4+\bruch{9}{8}u^2$
[/mm]
Da es extremal werden soll, benötigen wir die erste Ableitung
$A'(u) = [mm] -4*\bruch{3}{32}u^3+2*\bruch{9}{8}u$ [/mm] //unsere erste Ableitung
$0 = [mm] -\bruch{3}{8}u^3+\bruch{9}{4}u$ [/mm] //ausklammern
$0 = [mm] u(-\bruch{3}{8}u^2+\bruch{9}{4})$ [/mm] //Nullstellen berechnen
SatzVomNullprodukt $u=0 [mm] \vee (-\bruch{3}{8}u^2+\bruch{9}{4})=0 [/mm] $
u=0 macht wenig Sinn
[mm] $0=-\bruch{3}{8}u^2+\bruch{9}{4}$
[/mm]
[mm] $\bruch{3}{8}u^2=\bruch{9}{4}//*8 [/mm] // :3$
[mm] $u^2 [/mm] = 6 // [mm] \wurzel{}$
[/mm]
[mm] $u=-\wurzel{6}$
[/mm]
Das musst du nun in die Funktion A(u) einsetzen und ausrechnen, ich gehe davon aus, wenn Loddar das sagte, dass
[mm] A(-\wurzel{6}) [/mm] = [mm] \bruch{27}{4} [/mm] $
Es ist übrigens [mm] -\wurzel{6}, [/mm] weil es die Aufgabe so geschildert hat - dritter Quadrant.
Natürlich musst du noch die zweite Ableitung bilden und gucken, ob es auch wirklich ein Maximum ist.
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 So 30.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo und Danke mal wieder,
jetzt weiss ich auch, warum ich nicht auf die Lösung kommen konnte,
ich hab wieder mal übersehen Kathete 1 als eine Einheit anzusehen.....
Grüße
masaat
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