Max Min von versch. Intervalle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Rufio87 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} x^2 + 2x, & \mbox{für } x < 1 \\ 1/x, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}
[/mm]
Untersuchen ob in folgenden Teilmengen von R, die Funktion ein Minimum oder Maximum annimmt! |
Die Teilmengen hab ich jetzt nicht gegeben, da mich nur die vorgehensweisse interessiert und ich den rest selber versuchen will.
Also ich hab folgendes überlegt: f(x) hat bei x = 1 eine Sprungstelle!
jetzt hab ich gelesen dass jede auf einem Intervall I begrenzte und stetige Funktion ein Max und min hat! was ist jetzt aber mit offenen Intervallen oder Intervallen in denen die Funktion nicht stetig ist????
z.b.: I = [-3,-1]... ich könnt ja max = -1 min = -3 beweisen indem ich zeige dass die funktion in dem intervall monoton fällt aber wie beweis ich das für so ein intervall??
ich weiss nicht genau wie ich da vorgeh. hab dann nämlich noch intervalle die die rechts bzw. links odder beidseitig offen sind und unstetkeit dazwischen haben,...
würd mich sehr freuen wenn mir jemand helfen kann!!
Danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
|
|
| |
|
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2 + 2x, & \mbox{für } x < 1 \\ 1/x, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}[/mm]
>
> Untersuchen ob in folgenden Teilmengen von R, die Funktion
> ein Minimum oder Maximum annimmt!
> Die Teilmengen hab ich jetzt nicht gegeben, da mich nur
> die vorgehensweisse interessiert und ich den rest selber
> versuchen will.
>
> Also ich hab folgendes überlegt: f(x) hat bei x = 1 eine
> Sprungstelle!
> jetzt hab ich gelesen dass jede auf einem Intervall I
> begrenzte und stetige Funktion ein Max und min hat! was
> ist jetzt aber mit offenen Intervallen oder Intervallen in
> denen die Funktion nicht stetig ist????
Hallo,
wichtig ist zunächst mal, daß Du nur verwendest, was in der Vorlesung dran war. Wenn Du also irgendwo was liest, mußt Du Dich überzeugn, daß Ihr es hattet. (Du kannst die benötigten Sätze natürlich auch in deiner HÜ vorstellen und beweisen.)
Wenn Du so einen Satz gefunden hast, heißt das nicht, daß es in anderen Fällen keine Extrema gibt. An andere Fälle mußt Du halt mir anderen Methoden herangehen.
Eine Skizze ist sicher eine Hilfe.
> z.b.: I = [-3,-1]... ich könnt ja max = -1 min = -3
> beweisen indem ich zeige dass die funktion in dem intervall
> monoton fällt aber wie beweis ich das für so ein
> intervall??
Zunächst mal hattet Ihr sicher den satz über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen, welcher Dir sichert, daß es ein Minimum und ein Maximum gibt.
Dann brauchst Du die Def. von Maximum. Wie habt Ihr das definiert?.
Und nun zeigst Du anhand dieser Definition, daß an der Stelle x=-3 ein Maximum (!!!) vorliegt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Rufio87 |
Bei mir im Skript steht, wenn ein Intervall beschränkt ist durch (L <= f(x) <= K) dann hat Intervall ein Supremum und Infimum... wenn weiters ein x1 und x2 aus I existiert für das gilt: f(x1) = r und f(x2) = s dann ist r Minimum und s Maximum.
ich weiss ja jetzt nur zufällig dass bei I = [-3, -1] die Funktion beschränkt ist, wiel ichs mir aufgezeichnet hab. wie kann man das jetzt aber mathematisch überprüfen, es könnt ja sein dass die Funktion im Intervall einmal nicht beschränkt ist! wie überprüff ich das?
und wie finde ich das Supremum und Infimum in einem Intervall wenn ich es nicht weiss?
Lieg ich richtig mit der allgemeinen vorgehensweise wenn ein Intervall gegeben ist:
1. überprüfen ob die Funktion beschränkt ist im Intervall, d.h. es muss ein K und ein L geben.
2. gibts ein L und K, muss ich Infimum und Supremum finden.
3. hab ich sup und inf muss ich überprüfen obs ein x1 und x2 in I gibt für die gilt: f(x1) = sup und f(x2) = inf dann sind das unser min und max
beschränkt ist die funktion ja wenn es in I stetig ist oder? wie find ich dann aber ein sup und inf wenn ichs nicht weiss?
|
|
|
| |
|
> Bei mir im Skript steht, wenn ein Intervall beschränkt ist
> durch (L <= f(x) <= K) dann hat Intervall ein Supremum und
> Infimum... wenn weiters ein x1 und x2 aus I existiert für
> das gilt: f(x1) = r und f(x2) = s dann ist r Minimum und s
> Maximum.
Hallo,
das muß da aber irgendwie anders stehen...
Denn: nehmen wir die durch g(x):=x im Intervall [0,1] definierte Funktion.
Offensichtlich ist die beschränkt. Es ist g( 0.8)=0.8 und g(0.4)=0.4. Aber es ist weder bei 0.8 das Minimum, noch ist bei 0.4 das Maximum.
Du mußt sowas genau lesen und wiedergeben, sonst kommt leicht Blödsinn bei heraus.
>
> ich weiss ja jetzt nur zufällig dass bei I = [-3, -1] die
> Funktion beschränkt ist, wiel ichs mir aufgezeichnet hab.
> wie kann man das jetzt aber mathematisch überprüfen,
Naja, wenn Du die Funktion in Scheitelpunktform bringst, siehst Du schon, daß bei -1 die Stelle eines Minimums ist.
Wenn Du den Verdacht hast, daß die Funktion nach oben z.B. durch 10 beschrankt ist, rechnest Du das vor:
Für [mm] -1\le x\le [/mm] -3 ist
[mm] f(x)=x^2+2x= [/mm] ... < ... .
Auch hier kannst Du Dir die Scheitelpunktform zunutze machen.
Wie man was zeigt, wird auch davon abhängen, was Dir zur verfügung steht. Mit Differentialrechnung wird man anders arbeiten als ohne.
> könnt ja sein dass die Funktion im Intervall einmal nicht
> beschränkt ist! wie überprüff ich das?
Das klappt oft gut, indem Du annimmst, daß es eine obere Schranke gbt und dies zum Widerspruch führst.
> und wie finde ich das Supremum und Infimum in einem
> Intervall wenn ich es nicht weiss?
Ein Kochrezept zu geben, fällt hier schwer. das kommt doch auch auf die Funktion an.
Oft läuft das aber so, daß man aus einer Skizze oder anderen Überlegungen bereits das Inf und Sup erraten kann.
Dann behauptet man: da ist das Sup und führt anschließend den Beweis dafür, daß die Behauptung stimmt.
> Lieg ich richtig mit der allgemeinen vorgehensweise wenn
> ein Intervall gegeben ist:
> 1. überprüfen ob die Funktion beschränkt ist im Intervall,
> d.h. es muss ein K und ein L geben.
> 2. gibts ein L und K, muss ich Infimum und Supremum
> finden.
> 3. hab ich sup und inf muss ich überprüfen obs ein x1 und
> x2 in I gibt für die gilt: f(x1) = sup und f(x2) = inf dann
> sind das unser min und max
Ja, so kann man das schon machen.
Ob's in jedemFall die schnellste Vorgehensweise ist, sei dahingestellt. Wie gesagt: es kommt darauf an, welche Werkzeuge man hat.
>
> beschränkt ist die funktion ja wenn es in I stetig ist
Sofern I ein abgeschlossenes Intervall ist.
> wie find ich dann aber ein sup und inf wenn ichs
> nicht weiss?
Durch Suchen. Es kommt doch auf de Funktion an. Ein allgemeines Rezept fällt mir nicht ein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Rufio87 |
erstmals ein großes dankeschön für deine bemühungen!!!!! is wirklich eine große hilfe.
ich bin jetzt nochmals lästig :): also das mit der scheitelpunktform hab ich zum ersten mal gehört, weiss jetzt allerdings was das ist. das werkzeug differenzial haben wir noch nicht durchgenommen!!
eine große frage hab ich jetzt noch:
maxima, minima, supremum und infimum kapier ich alles was es ist aber ich weiss nicht wie ich es beweisen kann wenn ein Intervall gegeben ist! da steh ich an.
sagen wir auf [-3,-1] ist beschränkt nach oben durch 10.
dann sag ich für -1 <= x <= -3 gilt: f(x) <= 10 weiter gehts:
[mm] x^2 [/mm] + 2x < 10 kann ich dann so weitergehen: [mm] x^2 [/mm] + 2x -10 < 0 dann x1 und x2 ausrechnen für [mm] x^2 [/mm] + 2x - 10 = 0... dafür bekomm ich zwei werte für x raus, einer größer und einer kleiner 0, den größeren darf ich weglassen, da der nicht im intervall I ist der kleinere schon, dann setz ich den kleineren in f(x) ein und schau ob der wert kleiner gleich 10 ist oder? ist er kleiner so ist durch 10 beschränkt!!!
- wenn das stimmt müsste doch auch folgendes stimmen: wenn ich keine lösung für x werte herausbekomme die nicht in I sind, so ist die angenommene schranke falsch!!
- wenn man ein x1 herausbekommt das in I ist gilt: für alle x < x1 gilt die ungleichung???
ich hoff ich lieg da nicht ganz daneben!!!
|
|
|
| |
|
> aber ich weiss nicht wie ich es beweisen kann wenn
> ein Intervall gegeben ist! da steh ich an.
>
> sagen wir auf [-3,-1] ist beschränkt nach oben durch 10.
>
> dann sag ich für -1 <= x <= -3 gilt: f(x) <= 10 weiter
> gehts:
Hallo,
solche Beschreibungen von Rechnungen sind sehr undankbar für den Leser.
Ich sag' da auch ungern richtig oder falsch, weil ich ja nicht gesehen habe, was getan wurde.
Poste doch in Zukunft lieber die Rechnung inkl. Äquivalenz- und Folgepfeilen.
Generell sind Äquvalenzumformungen bei Ungleichungen immer etwas anfällig dafür, daß man Fehler macht.
Richtig auf jeden Fall ist folgendes: wenn Du mit [mm] f(x)\le [/mm] 10 startest und am Ende eine unwahre Aussage bekommst, kann [mm] f(x)\le [/mm] 10 nicht richtig sein.
Ich zeig Dir jetzt mal, wie ich es beweisen würde:
sei [mm] x\in [/mm] [-3, -1].
Dann ist [mm] x^2\le [/mm] 9 und [mm] 2x\le [/mm] -2.
Also ist [mm] f(x)=x^2+2x \le [/mm] 9+(-2)=7<10.
Wie man etwas findet, und wie man es später dann beweist, unterscheidet sich nicht selten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Rufio87 |
ohh sorry ich wollte eigentlich mit dem <= sagen "kleiner gleich", hab gedacht dass das schon richtig übersetzt wird! sorry, bin ich vom programmieren so gewohnt, werds aber in zukunft nichtmehr so machen!!
aber danke nochmals für die hilfe, mir wirds schon langsam klarer!!! danke
|
|
|
|
