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| Aufgabe | Berrechne Max und Min der Funktion
$f := [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^3+3xy^2-3xy [/mm] $ |
Um die lokalen Extrema am Rand zu untersuchen bin ich so vorgegangen:
[mm] $h_0(x) [/mm] := [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x,0) = [mm] x^3 \Rightarrow h_0'(x) [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = 0 [mm] \Rightarrow h_0''(0) [/mm] = 0$
aber 0 liegt ja am Rand von [mm] $h_0$ [/mm] und die Randpunkte muss ich ja gesondert überprüfen, also [mm] $h_0(0) [/mm] = 0
jetzt mach ich das noch mit dem restlichen Rand von f.
[mm] $h_1(x) [/mm] := [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x,1) = [mm] x^3 [/mm] $
[mm] $g_0(y) [/mm] := [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(0,y) = 0 $
[mm] $g_1(y) [/mm] := [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(1,y) = 1 + [mm] 3y^2 [/mm] - 3y$
[mm] $g_1'(y) [/mm] = 6y -3 = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] y = -2$ aber -2 ist gar nicht im Def-bereich.
jetzt schau ich mir also noch die Eckpunkte von f an:
$f(0,0) = 0, f(1,0) = 1, f(0,1) = 0, f(1,1) = 1$
also habe ich Max/Min nur an den Eckpunkten.
Passt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Fr 15.05.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Berrechne Max und Min der Funktion
> [mm]f := [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}: (x,y) \mapsto x^3+3xy^2-3xy[/mm]
>
> Um die lokalen Extrema am Rand zu untersuchen bin ich so
> vorgegangen:
>
> [mm]h_0(x) := [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x,0) = x^3 \Rightarrow h_0'(x) = 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow h_0''(0) = 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber 0 liegt ja am Rand von [mm]$h_0$[/mm] und die Randpunkte muss
> ich ja gesondert überprüfen, also [mm]$h_0(0)[/mm] = 0
> jetzt mach ich das noch mit dem restlichen Rand von f.
> [mm]h_1(x) := [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x,1) = x^3[/mm]
>
> [mm]g_0(y) := [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(0,y) = 0[/mm]
>
> [mm]g_1(y) := [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(1,y) = 1 + 3y^2 - 3y[/mm]
>
> [mm]g_1'(y) = 6y -3 = 0 \Leftrightarrow y = -2[/mm] aber -2 ist gar
> nicht im Def-bereich.
Leider verrechnet.
$y = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
> jetzt schau ich mir also noch die Eckpunkte von f an:
> [mm]f(0,0) = 0, f(1,0) = 1, f(0,1) = 0, f(1,1) = 1[/mm]
> also habe
> ich Max/Min nur an den Eckpunkten.
Noch mit [mm] $f\left(1,\bruch{1}{2}\right)$ [/mm] und dem/n lokalen Extremum/a aus
dem inneren des Definitionsbereich vergleichen.
>
>
> Passt das so?
>
Gruß
meili
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