Max. Flächenberechnung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mi 21.04.2010 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
ich hab ein ganz großes Problem bei der Flächenberechnung. Nämlich begreife ich sie einfach nicht...
Jetzt hab ich aber diese Aufgabe bekommen:[Externes Bild http://i116.photobucket.com/albums/o24/harui8/Unbenannt-9.jpg]
bei der die Anweisung ist, den maximalen Flächeninhalt vom Rechteck zu berechnen.
Das einzige, was gegeben ist, ist R.
Der Flächeninhalt vom Rechteck wäre:
A=2r*h
vom Halbkreis:
[mm] \bruch{\pi*R^{2}}{2}
[/mm]
Um überhaupt einen Maximalwert zu bestimmen, muss ich ja die erste Ableitung von einer Funktion bestimmen, welche ich aber erst erstellen muss.
Mir fällt da wirklich nicht viel ein...Ich hab mir gedacht r durch [mm] \wurzel{R^{2}-h^{2}} [/mm] auszudrücken (man kann den Pythagoras anwenden im Rechteck). Aber bringt mir das was?
Kann mir bitte jemand helfen. Bin momentan am verzweifeln...
lg zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zitrone!
Um überhaupt erst ans Ableiten denken zu können, benötigen wir zunächst eine entsprechende Zielfunktion.
Die Hauptbedingung mit $A(r,h) \ = \ 2*r*h$ hast Du bereits.
Auch die Idee mit Herrn Pythagoras ist gut:
$$r \ = \ [mm] \wurzel{R^2-h^2}$$
[/mm]
Setze dies nun in die Formel für $A(r,h)_$ ein, und Du erhältst eine Funktion mit nur noch einer Unbekannten $h_$ .
Diese Funktion $A(h)_$ dann nach $h_$ ableiten und die Nullstelle der Ableitung bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 21.04.2010 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend Loddar,
vielen Dank für deine Hilfe!:)
Also muss die Funktion so aussehen:
A(h)= 2( [mm] \wurzel{R^2-h^2})*h
[/mm]
Die Ableitung dann so?
A´(h)= [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{2R-2h}{\wurzel{R^{2}-h^{2}}})*h [/mm] + 2( [mm] \wurzel{R^2-h^2}) [/mm] * 1
lg zitrone
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Hallo, der 2. Summand sieht gut aus, aber der 1. Summand nicht
u=2h
u'=2
[mm] v=\wurzel{R^{2}-h^{2}}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}}*(-2h)
[/mm]
Jetzt benutze erneut die Produktregel
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 21.04.2010 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend Steffi21,
danke für die Hilfe.:)
Ich versteh jetzt aber die (-2h) nicht.
>
> [mm]v=\wurzel{R^{2}-h^{2}}[/mm]
>
> [mm]v'=\bruch{1}{2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}}*(-2h)[/mm]
Beim ableiten von v versteh ich den ersten Teil, aber wie kommt das (-2h) zustande?
lg zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zitrone!
Das ist die innere Ableitung von [mm] $R^2-h^2$ [/mm] gemäß  Kettenregel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 21.04.2010 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend!
Ah, jetzt seh ichs!:D
Also müsste es korrigiert heißen:
[mm] A´=\bruch{1}{2 \wurzel{R^2-h^2}} [/mm] * (-2h) * h + 2( $ [mm] \wurzel{R^2-h^2}) [/mm] $ * 1
und das dann A´= 0 setzen.
[mm] 0=\bruch{1}{2 \wurzel{R^2-h^2}} [/mm] * [mm] (-2h^{3}) [/mm] + 2( $ [mm] \wurzel{R^2-h^2}) [/mm] $
lg zitrone
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Hallo,
dir fehlt ein Faktor 2
[mm] A'(h)=\bruch{1}{2\wurzel{R^{2}-h^{2}}}(-2h)* [/mm] 2 h + [mm] 2*\wurzel{R^{2}-h^{2}} [/mm] die Funktion u lautet 2h
[mm] A'(h)=-\bruch{4h^{2}}{2\wurzel{R^{2}-h^{2}}}+2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}
[/mm]
jetzt gleich Null setzen, multipliziere dann mit dem Nenner [mm] 2\wurzel{R^{2}-h^{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 21.04.2010 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
hm, ich versteh wieder einen Schritt nicht...:(
> [mm]A'(h)=\bruch{1}{2\wurzel{R^{2}-h^{2}}}(-2h)*[/mm] 2 h +
> [mm]2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}[/mm] die Funktion u lautet 2h
>
> [mm]A'(h)=-\bruch{4h^{2}}{2\wurzel{R^{2}-h^{2}}}+2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}[/mm]
Wieso * 2h ?
Heißt es nicht A= 2 [mm] \wurzel{R^2-h^2}* [/mm] h
Bei der Produktregel leite ich ja erst den ersten Faktor (2 [mm] \wurzel{R^2-h^2}) [/mm] und dann belasse ich den zweiten Faktor unverändert (h). Die 2 sa vorne fällt doch weg, oder?
lg zitrone
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Hallo zitone,
> Hallo!
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> hm, ich versteh wieder einen Schritt nicht...:(
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> > [mm]A'(h)=\bruch{1}{2\wurzel{R^{2}-h^{2}}}(-2h)*[/mm] 2 h +
> > [mm]2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}[/mm] die Funktion u lautet 2h
> >
> >
> [mm]A'(h)=-\bruch{4h^{2}}{2\wurzel{R^{2}-h^{2}}}+2*\wurzel{R^{2}-h^{2}}[/mm]
>
> Wieso * 2h ?
>
> Heißt es nicht A= 2 [mm]\wurzel{R^2-h^2}*[/mm] h
Das stimmt auch.
Schreibe die Funktion A(h) einmal anders:
[mm] A= 2 \wurzel{R^2-h^2}* h=\left(\ 2h \ \right) *\wurzel{R^2-h^2}[/mm]
Dann ist
[mm]A'=\left( \wurzel{R^2-h^2} \right)' * \left(2h\right)+\wurzel{R^2-h^2}*\left(2h\right)'[/mm]
[mm]=\bruch{-2h}{2\wurzel{R^2-h^2}}*\left(2h\right)+\wurzel{R^2-h^2}*2[/mm]
>
> Bei der Produktregel leite ich ja erst den ersten Faktor (2
> [mm]\wurzel{R^2-h^2})[/mm] und dann belasse ich den zweiten Faktor
> unverändert (h). Die 2 sa vorne fällt doch weg, oder?
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> lg zitrone
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>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 21.04.2010 | | Autor: | zitrone |
Hallo mathepower,
jetzt hab ich es verstanden!:D Vielen Dank!!!
lg zitrone
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