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Hallo Leute!
Hab da mal ne Frage zu einer Aufgabe, die ich am Dienstag abgeben muss und zu der der Prof bisher kein Wort verloren hat. (Matrizenrechnung)
zu zeigen:
1.) Ist A nilpotent, so ist A nicht invertierbar
2.) Ist A unipotent, so ist A invertierbar
Ich hab zwar nachgeschaut was nilpotent ist, hab allerdings keine Ahnung, was Eigenwert und Eigenvektor bedeutet.
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen? Hab echt keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll! Danke schonmal im Voraus!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.zahlreich.de/hausaufgaben gestellt (unter dem selben Namen)
Gruß
SirBigMac
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> 1.) Ist A nilpotent, so ist A nicht invertierbar
Ist $k [mm] \in \IN$ [/mm] so gewählt, dass [mm] $A^k=0$, [/mm] aber [mm] $A^{k-1} \ne [/mm] 0$, dann gibt es ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $A^{k-1}x \ne [/mm] 0$, aber$ A^kx = [mm] A(A^{k-1}x) [/mm] =0$, also: $Kern(A) [mm] \ne \{0\}$.
[/mm]
> 2.) Ist A unipotent, so ist A invertierbar
Ist $k [mm] \in \IN$ [/mm] so gewählt, dass [mm] $(A-E_n)^k=0$. [/mm] Dann gilt:
Dann ist das Minimalpolynom von $A$ ein Teiler von [mm] $p(x)=(x-1)^k$, [/mm] d.h. $0$ kann kein Eigenwert sein. Somit ist $A$ invertierbar.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.zahlreich.de/hausaufgaben gestellt (unter dem
> selben Namen)
Danke für den Hinweis, aber vielleicht kannst du dich ja demnächst für ein Forum entscheiden...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Do 10.11.2005 | | Autor: | SirBigMac |
> > Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> > Internetseiten gestellt:
> > http://www.zahlreich.de/hausaufgaben gestellt (unter
> dem
> > selben Namen)
>
> Danke für den Hinweis, aber vielleicht kannst du dich ja
> demnächst für ein Forum entscheiden...
>
> Liebe Grüße
> Stefan
Klar mach ich schon, hab das andere Forum halt zuerst gefunden, dann hab ich hier aber gesehen, das solche Fragen hier viel schneller beantwortet werden!
Grüße
SirBigMac
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Vielen Dank erstmal für die Beantwortung der Frage!
Hast mir sehr geholfen! 
Mir ist allerdings noch unklar was Kern(A) [mm] \not=0 [/mm] ist.
> also: [mm]Kern(A) \ne \{0\}[/mm].
Grüße
SirBigMac
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dies bedeutet: Es gibt ein $x [mm] \ne [/mm] 0$ mit $Ax=0$.
Liebe Grüße
Stefan
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Sorry dass ich nochmal ne Frage hab, aber ich bin neu hier und kenn mich noch nicht so aus.
Zu Aufgabe 1:
Hab ich das richtig verstanden, dass [mm] A^{k-1}x \not=0 [/mm] ist, dazu führt, dass [mm] A^{k-1}x [/mm] nicht trivial lösbar ist und somit nicht invertierbar ist?
Zu Aufgabe 2:
Wie komme ich von dieser Gleichung
> [mm]0 = (A-E_n)(A-E_n)^{k-1}[/mm],
auf diese Gleichung?
> also: [mm]A(A-E_n)^{k-1} = E_n[/mm],
Kann ich aus dieser Gleichung schließen, dass sich A in die Einheitsmatrix überführen lässt und daraus folgt, dass A invertierbar ist?
Liebe Grüße
SirBigMac
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur a) $A$ ist ja genau dann invertierbar, wenn $Kern(A)=0$, d.h. wenn nur die $0$ auf $0$ abgebildet wird. Ich habe aber ein von $0$ verschiedenes Element, nämlich [mm] $A^{k-1}x$, [/mm] konstruiert, welches von $A$ auf $0$ abgebildet wird. Daher kann $A$ nicht invertierbar sein.
Bei der b) habe ich Mist gebaut ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , ist jetzt aber verbessert.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ist $k [mm] \in \IN$ [/mm] die kleinste natürliche Zahl mit
[mm] $(E-A)^k=0$,
[/mm]
so folgt:
$E = A [mm] \sum\limits_{i=0}^{k-1} [/mm] {k [mm] \choose [/mm] i} [mm] (-1)^{i}A^i$,
[/mm]
d.h. $A$ ist invertierbar.
Liebe Grüße
Stefan
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