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| Aufgabe | Zeige für [mm]A\in M(2\times 2,K) [/mm] folgende Äquivalenz:
(1) AB=BA [mm]\forall B\in M(2\times 2,K)[/mm]
(2) [mm]\exists\lambda\in K[/mm] mit [mm]A=\lambda E_{2}=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\
0 & \lambda\end{pmatrix}[/mm] |
Hallo,
also für die Richtung (1)[mm]\Rightarrow [/mm] (2) habe ich noch keinen Ansatz.
Für (2)[mm]\Rightarrow [/mm] (1) habe ich das bisher nur so gemacht, dass ich für A dann [mm]\lambda E_2[/mm] eingesetzt habe, so dass dann da steht [mm]\lambda E_2 \cdot B=B\cdot \lambda E_2[/mm]. Ist das als Beweis schon ausreichend? Kommt mir nämlich ein bisschen komisch vor.
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> Zeige für [mm]A\in M(2\times 2,K)[/mm] folgende Äquivalenz:
> (1) AB=BA [mm]\forall B\in M(2\times 2,K)[/mm]
> (2)
> [mm]\exists\lambda\in K[/mm] mit [mm]A=\lambda E_{2}=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\
0 & \lambda\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo,
Hey
> also für die Richtung (1)[mm]\Rightarrow[/mm] (2) habe ich noch
> keinen Ansatz.
Da es nur um [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen geht, kannst du ja mal [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }=\pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] ausrechnen und so schauen, welche Form A notwendigerweise haben muss.
> Für (2)[mm]\Rightarrow[/mm] (1) habe ich das bisher nur so gemacht,
> dass ich für A dann [mm]\lambda E_2[/mm] eingesetzt habe, so dass
> dann da steht [mm]\lambda E_2 \cdot B=B\cdot \lambda E_2[/mm]. Ist
> das als Beweis schon ausreichend? Kommt mir nämlich ein
> bisschen komisch vor.
Das ist meiner Meinung nach ok!
Gruß Patrick
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Ok habe das mal gemacht. Es folgt:
[mm] \begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\
b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}\end{pmatrix} [/mm]
und kann man dann so argumentieren, dass nur in Spalte 1, Zeile 1 und Spalte 2, Zeile 2 jeweils etwas gleiches steht ([mm] a_{11} b_{11} [/mm] und [mm] a_{22} b_{22}[/mm], so dass die anderen Einträge nur gleich sein können, wenn A entsprechend 0 ist?
Das müsste man doch aber irgendwie noch formal ausdrücken oder?
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> Ok habe das mal gemacht. Es folgt:
> [mm]\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\
b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}\end{pmatrix}[/mm]
>
> und kann man dann so argumentieren, dass nur in Spalte 1,
> Zeile 1 und Spalte 2, Zeile 2 jeweils etwas gleiches steht
> ([mm] a_{11} b_{11}[/mm] und [mm]a_{22} b_{22}[/mm], so dass die anderen
> Einträge nur gleich sein können, wenn A entsprechend 0
> ist?
Hallo,
mich überzeugt das überhaupt nicht.
Das müßte man mir schon vorrechnen.
Ich sehe nicht, daß die anderen Eintrage =0 sein müssen. Wie begründest Du das? Bisher behauptest Du es einfach bloß.
Für den Beweis mußt Du bedenken, daß gefordert ist, daß man A mit jeder Matrix B vertauschen kann. Das ist der Schlüssel zur Lösung.
Ich finde den eingeschlagenen Weg nicht soooo geschickt.
Mühelos kommst Du so zum Ziel: wenn man A mit jeder Matrix vertauschen kann, dann auch mit den 4 Matrizen, die jeweils an einer Stelle eine 1 haben und ansonsten Nullen.
Gruß v. Angela
> Das müsste man doch aber irgendwie noch formal ausdrücken
> oder?
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> so dass
> dann da steht [mm]\lambda E_2 \cdot B=B\cdot \lambda E_2[/mm]. Ist
> das als Beweis schon ausreichend?
Hallo,
wenn Du die vertauschung, die Du hier durchführst mit Sätzchen aus der Vorlesung begründen kannst, ist es ausreichend, sonst nicht.
(Aber wenn Du das grad mal mit der Matrix [mm] B=(b_i_j) [/mm] vorrechnest, ist das ja auch nicht arg aufwendig.)
Gruß v. Angela
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> (Aber wenn Du das grad mal mit der Matrix [mm]B=(b_i_j)[/mm]
> vorrechnest, ist das ja auch nicht arg aufwendig.)
>
>
> Gruß v. Angela
Hallo,
mir war schon klar, dass ich das Matrizenprodukt auch berechnen soll. Wollte das nur nicht noch mal abtippen. Mathematiker sind ja faul. Hab mich dann aber doch mal dazu überwunden und komme zu folgendem:
[mm] \lambda E_{2}B=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\
0 & \lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda b_{11} & \lambda b_{12}\\
\lambda b_{21} & \lambda b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda & 0\\
0 & \lambda\end{pmatrix}=B\lambda E_{2}[/mm]
Hoffe mal, dass ich beim abtippen keinen Fehler gemacht habe. Ist das dann so richtig? Weil man ja sofort sieht, dass das kommutativ ist.
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> > (Aber wenn Du das grad mal mit der Matrix [mm]B=(b_i_j)[/mm]
> > vorrechnest, ist das ja auch nicht arg aufwendig.)
> >
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Hallo,
> mir war schon klar, dass ich das Matrizenprodukt auch
> berechnen soll. Wollte das nur nicht noch mal abtippen.
> Mathematiker sind ja faul. Hab mich dann aber doch mal dazu
> überwunden und komme zu folgendem:
> [mm]\lambda E_{2}B=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\
0 & \lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda b_{11} & \lambda b_{12}\\
\lambda b_{21} & \lambda b_{22}\end{pmatrix}=(\*) =\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda & 0\\
0 & \lambda\end{pmatrix}=B\lambda E_{2}[/mm]
>
> Hoffe mal, dass ich beim abtippen keinen Fehler gemacht
> habe. Ist das dann so richtig? Weil man ja sofort sieht,
> dass das kommutativ ist.
Hallo,
richtig ist es. Wenn Du ganz sicher sein willst, schiebe noch bei [mm] (\*) [/mm] die Matrix mit [mm] b_i_j\lambda [/mm] dazwischen - dann hast Du i nder matrix vertauscht aufgrund der Regeln fürs Rechnen in K, und danach kommt wieder die Matrixdefinition.
Gruß v. Angela
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Ok schonmal Danke für die Hilfe beim zweiten Teil.
> > > Für den Beweis mußt Du bedenken, daß gefordert ist, daß man A mit jeder Matrix B vertauschen kann. Das ist der Schlüssel zur Lösung.
> > >Ich finde den eingeschlagenen Weg nicht soooo geschickt.
> > >Mühelos kommst Du so zum Ziel: wenn man A mit jeder Matrix vertauschen kann, dann auch mit den 4 Matrizen, die jeweils an einer Stelle eine 1 haben und ansonsten Nullen.
Bei diesem Tipp kann ich deiner Grammatik gerade nicht so ganz folgen. Du meinst, ich soll A mit jeder beliebigen 2x2 Matrix vertauschen und so dann zu dem Ergebnis kommen, dass das auch mit der Einheitsmatrix, bzw. einem vielfachen davon geht
Das kann ich zwar beispielhaft aufschreiben, aber abstrahieren und auf Beweisform bringen, ist mir leider noch nicht gelungen.
Gruß, tsleep
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> > > >Mühelos kommst Du so zum Ziel: wenn man A mit jeder Matrix
> vertauschen kann, dann auch mit den 4 Matrizen, die
> jeweils an einer Stelle eine 1 haben und ansonsten Nullen.
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> Bei diesem Tipp kann ich deiner Grammatik gerade nicht so
> ganz folgen. Du meinst, ich soll A mit jeder beliebigen 2x2
> Matrix vertauschen und so dann zu dem Ergebnis kommen, dass
> das auch mit der Einheitsmatrix, bzw. einem vielfachen
> davon geht
Hallo,
ich fürchte, daß es nicht an meiner Grammatik liegt...
Der Gedanke ist folgender
Wenn A so ist, daß A*B=B*A für jede beliebige Matrix gilt, dann folgt daraus, daß insbesondere
[mm] A*\pmat{1&0\\0&0}=\pmat{1&0\\0&0}*A
[/mm]
und
[mm] A*\pmat{0&1\\0&0}=\pmat{0&1\0&0}*A
[/mm]
und
[mm] A*\pmat{0&0\\1&0}=\pmat{0&0\\1&0}*A
[/mm]
und
[mm] A*\pmat{0&0\\0&1}=\pmat{0&0\\0&1}*A
[/mm]
==> ein Schwung Gleichungen, wenn Du [mm] A:=\pmat{ a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 } [/mm] schreibst,
die dann zu dem gesuchten Ergebnis führen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Di 09.12.2008 | | Autor: | T_sleeper |
> Hallo,
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> ich fürchte, daß es nicht an meiner Grammatik liegt...
Danke, sowas höre ich in letzter Zeit andauernd. Die Tutoren sagen so etwas auch ständig.
Aber du hast natürlich recht. Man hats nicht leicht als kleiner Mathe-Anfänger. Aber ein bisschen Hoffnung habe ich noch.
Danke für die kompetente Hilfe.
Gruß, tsleep
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