Matrizengleichung; Äqv.relat. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A, B sind nxn-Matrizen ueber einem Körper K
Zeige:
Dies ist eine Äquivalenzrelation:
A~B <=> es gibt eine invertierbare nxn-Matrix mit A=S^(-1)BS |
zunächst zur nachzuweisenden Symmetrie:
Es soll gelten
A~B => B~A und B~A => A~B.
Dabei stoße ich auf folgendes Problem - unabhängig davon, ob dies der richtige Ansatz für die Aufgabe ist:
Kann ich denn durch Äqivalenzumformungen von
A=S^(-1)BS nach B=S^(-1)AS kommen?
Versuch:
A=S^(-1)BS --- beide Seiten *S^(-1) ->
AS^(-1)=S^(-1)BSS^(-1) --- mit SS^(-1)=1 ->
AS^(-1)=S^(-1)B
Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will? Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.
etwa so:
SAS^(-1)=SS^(-1)B <=> SAS^(-1)=B ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Sa 04.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> zunächst zur nachzuweisenden Symmetrie:
>
> Es soll gelten
> A~B => B~A und B~A => A~B.
>
> Dabei stoße ich auf folgendes Problem - unabhängig davon,
> ob dies der richtige Ansatz für die Aufgabe ist:
>
> Kann ich denn durch Äqivalenzumformungen von
>
> A=S^(-1)BS nach B=S^(-1)AS kommen?
Nein, musst du aber auch nicht.
>
> Versuch:
>
> A=S^(-1)BS --- beide Seiten *S^(-1) ->
>
> AS^(-1)=S^(-1)BSS^(-1) --- mit SS^(-1)=1 ->
>
> AS^(-1)=S^(-1)B
>
> Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf
> beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will?
> Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.
>
> etwa so:
> SAS^(-1)=SS^(-1)B <=> SAS^(-1)=B ?
Das ist richtig, also tut die invertierbare Matrix [mm] $S':=S^{-1}$ [/mm] das nötige.
Liebe Grüße
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> > Kann ich denn durch Äqivalenzumformungen von
> >
> > A=S^(-1)BS nach B=S^(-1)AS kommen?
>
> Nein, musst du aber auch nicht.
> >
> > Versuch:
> >
> > A=S^(-1)BS --- beide Seiten *S^(-1) ->
> >
> > AS^(-1)=S^(-1)BSS^(-1) --- mit SS^(-1)=1 ->
> >
> > AS^(-1)=S^(-1)B
> >
> > Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf
> > beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will?
> > Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.
> >
> > etwa so:
> > SAS^(-1)=SS^(-1)B <=> SAS^(-1)=B ?
>
> Das ist richtig, also tut die invertierbare Matrix
> [mm]S':=S^{-1}[/mm] das nötige.
>
> Liebe Grüße
>
Hallo, danke f d Antwort.
Oben sagst Du, ich könne nicht per Äqv.umformgen nach B=... kommen.
Dann forme ich um nach B=... und Du sagst "richtig."
Sind die Umformungen nun richtig oder falsch? Dazu nochmal:
> > Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf
> > beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will?
> > Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es ist alles in Ordnung. Du hast nur deinen Überblick verloren.
Du hast am Anfang gesagt, dass du folgendes zeigen willst:
[mm] $A=S^{-1}BS\Longrightarrow \red{B=S^{-1}AS}$.
[/mm]
Dann hast du es aber richtig gemacht und folgendes gezeigt:
[mm] A=S^{-1}BS\Longrightarrow \green{B=SAS^{-1}}$.
[/mm]
Ich hoffe, dass du nun den Unterschied merkst. 
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 04.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> Es ist alles in Ordnung. Du hast nur deinen Überblick
> verloren.
> Du hast am Anfang gesagt, dass du folgendes zeigen
> willst:
>
> [mm]A=S^{-1}BS\Longrightarrow \red{B=S^{-1}AS}[/mm].
>
> Dann hast du es aber richtig gemacht und folgendes
> gezeigt:
>
> [mm]A=S^{-1}BS\Longrightarrow \green{B=SAS^{-1}}$.[/mm]
>
> Ich hoffe, dass du nun den Unterschied merkst.
und ich ergänze auch hier nochmal:
Um $B [mm] \sim [/mm] A$ zu beweisen, ist es hinreichend zu zeigen: Es existiert eine invertierbare
Matrix $T [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] mit
[mm] $B=T^{-1}*A*\blue{T}\,.$
[/mm]
Oben steht nun, dass wir aus $A [mm] \sim [/mm] B$ folgern können, dass sich [mm] $B\,$ [/mm] schreiben
läßt als
[mm] $B={(S^{-1})}^{-1}*A*(\blue{S^{-1}})\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Sa 04.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> A, B sind nxn-Matrizen ueber einem Körper K
>
> Zeige:
> Dies ist eine Äquivalenzrelation:
>
> A~B <=> es gibt eine invertierbare nxn-Matrix mit
> A=S^(-1)BS
> zunächst zur nachzuweisenden Symmetrie:
>
> Es soll gelten
> A~B => B~A und B~A => A~B.
das ist zwar korrekt, aber
$A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $B [mm] \sim [/mm] A$
würde vollkommen ausreichen - denn wenn das bewiesen ist, ist auch
$B [mm] \sim [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \sim [/mm] B$
bewiesen, da man dafür dort nur die Rollen von [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm]
gegeneinander vertauschen muss.
Und der Beweis zu $A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $B [mm] \sim [/mm] A$ geht etwa wie folgt:
$A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $A=S^{-1}BS$ [/mm] mit einer invertierbaren Matrix $S [mm] \in K^{n \times n}$
[/mm]
Mit
[mm] $T:=S^{-1} \in K^{n \times n}$ [/mm]
ist [mm] $T\,$ [/mm] invertierbar und wegen
[mm] $A=S^{-1}BS$ $\Rightarrow$ $SA=BS\,$ $\Rightarrow$ $SAS^{-1}=B$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $B=T^{-1}AT$ [/mm] (beachte [mm] $S=T^{-1}$) [/mm]
folgt $B [mm] \sim A\,.$
[/mm]
Das war ja auch Deine Erkenntnis. Beachte übrigens:
$A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\gdw$ $\exists$ [/mm] invertierbare Matrix $S [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $B=S^{-1}AS\,.$
[/mm]
Man könnte hier diese Matrix [mm] $S\,$ [/mm] als [mm] $S_{(A,B)}$ [/mm] schreiben (der Index ist
extra ein Paar [mm] $(A,B)\,,$ [/mm] weil dann i.a. $(A,B) [mm] \not=(B,A)\,$).
[/mm]
Das bedeutet:
$B [mm] \sim [/mm] A$ [mm] $\gdw$ $\exists$ [/mm] invertierbare Matrix $T [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $A=T^{-1}BT\,.$
[/mm]
Kurzgesatz:
I.a. wird
[mm] $S_{(A,B)} \not= S_{(B,A)}$
[/mm]
sein, oder noch besser gesagt: Es gibt keine Forderung der Art
[mm] $S_{(A,B)} [/mm] = [mm] S_{(B,A)}\,.$
[/mm]
(Deswegen habe ich oben [mm] $S=S_{(A,B)}$ [/mm] und [mm] $T=S_{(B,A)}$ [/mm] geschrieben!)
Gruß,
Marcel
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