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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:33 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
| Aufgabe | Seien [mm] a_1,...,a_n\in \IK. [/mm] zeigen sie:
[mm] \pmat{ 1 & a_1 & a\vektor{2 \\ 1} & ... & a\vektor{n-1 \\ 1} \\ 1 & a_2 & a\vektor{2 \\ 2} & ... & a\vektor{n-1 \\ 2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & a_n & a\vektor{2 \\ n} & ... & a\vektor{n-1 \\ n}} [/mm] = [mm] \produkt_{1\le i< j\le n}^{}(a_j-a_i)
[/mm]
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Was muss man denn bei dieser Aufgabe machen? Wie gehe ich daran diese zu lösen? da ich das Seminar lange nicht besuchen konnte, fehlt mir nun einiges an Wissen....ich wäre dankbar, wenn ihr mir vom kleinsten Schritt an helfen könnten..
Gruß
Mathegirl
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Hallo,
dem, was rauskommen soll, entnehme ich, daß es sich um die Determinante der Vandermonde-Matrix handeln soll.
Bitte bearbeite Dein Post so, daß man es lesen kann. Beispiel: [mm] a_3^5.
[/mm]
Ich denke auch, daß Du jetzt, wo Du weißt, wonach Du suchen mußt, mithilfe von Literatur bzw. Internet erste Lösungsansätze erarbeiten kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Danke für den Hinweis...ich versuche einige Lösungsansätze hinzubekommen und vielleicht kann sie ja dann jemand korrigieren bzw. tipps geben, wenn was falsch ist
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Ich habe nur die Idee, diese Aufageb mit Induktion zu zeigen.
Der Induktionsanfang ist also n=1
det(1)= [mm] \produkt_{1\le i
Ist die Aussage für n bewiesen, dann muss auch n+1 gelten
[mm] \vmat{ 1 & x_1 & x^2_1 & ... & x^{n-1}_1 & x^n_1 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_n & x^2_n & ... & x^{n-1}_n & x^n_n \\ 1 & x_{n+1} & x^2_{n+1} & ... & x^{n-1}_{n+1} & x^n_{n+1}}
[/mm]
Nachdem ich n+1 berechnet habe muss ich das [mm] (-x_{n+1}) [/mm] fache addieren
und ich erhalte dann:
[mm] \vmat{ 1 & x_1-x_{n+1} & x_1(x_1-x_{n+1} & ... & x^{n-2}_1(x_1-x_{n+1}) & x^{n-1}_1(x_1-x_{n+1}) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_n-x_{n+1} & x_n(x_n-x_{n+1}) & ... & x^{n-2}_n(x_n-x_{n+1}) & x^{n-1}_n(x_n-x_{n+1}) \\ 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0}
[/mm]
k hat hier 1-n durchlaufen. Die Zeilen können nun vertauscht werden.
= [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \underbrace{(x_1-x_{n+1})*...*(x_n-x_{n+1}) }_{\produkt_{i=1}^{n}(x_i-x_{n+1})} [/mm] * [mm] \vmat{ 1 & x_1 & ... & x^{n-1}_1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_n & ... & x^{n-1}_n } [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}(x_{n+1}-x_i) *\produkt_{1\le i
Das war meine einzige Idee und ich hoffe nicht, dass das jetzt auch noch falsch ist :( Und bitte nicht so kleinlich sein mit den Schreibfehlern, das war echt ne mordsarbeit und verwirrung, das hier zu schreiben..
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> Ich habe nur die Idee, diese Aufageb mit Induktion zu
> zeigen.
>
> Der Induktionsanfang ist also n=1
>
> det(1)= [mm]\produkt_{1\le i
>
> Ist die Aussage für n bewiesen, dann muss auch n+1 gelten
>
> [mm]\vmat{ 1 & x_1 & x^2_1 & ... & x^{n-1}_1 & x^n_1 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_n & x^2_n & ... & x^{n-1}_n & x^n_n \\ 1 & x_{n+1} & x^2_{n+1} & ... & x^{n-1}_{n+1} & x^n_{n+1}}[/mm]
>
> Nachdem ich n+1 berechnet habe muss ich das [mm] \red{(-x_{n+1}) fache a}ddieren
[/mm]
> und ich erhalte dann:
>
> [mm]\vmat{ 1 & x_1-x_{n+1} & x_1(x_1-x_{n+1} & ... & x^{n-2}_1(x_1-x_{n+1}) & x^{n-1}_1(x_1-x_{n+1}) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_n-x_{n+1} & x_n(x_n-x_{n+1}) & ... & x^{n-2}_n(x_n-x_{n+1}) & x^{n-1}_n(x_n-x_{n+1}) \\ 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0}[/mm]
>
> k hat hier 1-n durchlaufen. Die Zeilen können nun
> vertauscht werden.
>
> = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\underbrace{(x_1-x_{n+1})*...*(x_n-x_{n+1}) }_{\produkt_{i=1}^{n}(x_i-x_{n+1})}[/mm]
> * [mm]\vmat{ 1 & x_1 & ... & x^{n-1}_1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_n & ... & x^{n-1}_n }[/mm]
> = [mm]\produkt_{i=1}^{n}(x_{n+1}-x_i) *\produkt_{1\le i
>
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> Das war meine einzige Idee und ich hoffe nicht, dass das
> jetzt auch noch falsch ist :( Und bitte nicht so kleinlich
> sein mit den Schreibfehlern, das war echt ne mordsarbeit
> und verwirrung, das hier zu schreiben..
Hallo,
wenn Du Deinen Chefs noch bei der rotmarkierten Stelle erklärst, wovon das [mm] -x_{n+1}-fache [/mm] wozu addiert wird, und an passender Stelle "Entwicklung nach..." einstreust, dann ist das in Ordnung so.
Gruß v. Angela
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