Matrizenaddition-Multipli. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 13.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Entscheiden sie jeweils ob die Folgenden Teilmengen von [mm] M_n (\R), n\ge [/mm] 2, abgeschlossen unter Matrizenaddition bzw. Multiplikation sind.
a) Die oberen Dreiecksmatrizen
b)Die Diagonalmatrizen
c) die Matrizen, bei denen die erste Zeile nur Nullen enthält
d) Die Matrizen mit ausschließlich negativen Einträgen
e) Matrizen mit Rationalen Einträgen
f) Matrizen, bei denen die Summe aller Einträge Null ergibt |
Hallo,
ich wollte mal fragen, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.
Hier geht es um quadratische Matrizen und ich soll zum Beispiel bei der a zeigen, dass die Addition bzw. Multiplikation von zwei oberen Dreiecksmatrizen, wieder eine Dreiecksmatrize ergibt.
Ist das so korrekt?
bei der a wäre das dann:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6}+\pmat{ 6 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 7 & 7 & 7 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & 7}
[/mm]
daraus folgt die Abgeschlossenheit.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6}*\pmat{ 6 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 6 & 11 & 13 \\ 0 & 12 & 13 \\ 0 & 0 & 6}
[/mm]
hieraus schließt sich, dass die Multiplikation von zwei oberen Dreiecksmatrizen, wieder eine Dreiecksmatrize ergibt.
Ist das so richtig, oder reicht ein Beispiel nicht aus, weil man ja Beispiele eigentlich für ein Gegenbeweis verwendet?
Danke im voraus!
Lg Melisa
|
|
| |
|
Hi,
also Aussage a) stimmt, wie du schon festgestellt hast.
Sei [mm]A=(a_{ij}),B=(b_{ij})[/mm] obere Dreiecksmatrizen.
Addition wäre (tivial):
[mm]A+B=C=(c_{ij})[/mm]. Laut Rechenregeln [mm]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}[/mm] für i,j = 1,...,n folgt die Behauptung. Hier kannst du eine Fallunterscheidung durchführen oder du schreibst halt allgemein:[mm]\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{mn}}+\pmat{ b_{11} & \cdots & b_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & b_{mn}}=\pmat{ c_{11} & \cdots & c_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & c_{mn}}[/mm]
Multiplikation von Matrizen:
[mm]C=A*B[/mm]. Rechenregel [mm]c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}[/mm] für i,j = 1,...,n Für [mm]i>j[/mm] weißt du,dass sowohl [mm]a_{ij}[/mm] als auch [mm]b_{ij}[/mm] Null sind. Daraus folgt die Behauptung auch [mm]c_{ij}=0[/mm]. Zum Beispiel:
[mm]c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\ldots+a_{2n}b_{n1}=0[/mm]
Hingegen
[mm]c_{12}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots+a_{1n}b_{n1}\neq 0[/mm]
b) sollte analog gelten
c) ebenfalls (Begründung eventuell mit Determinante bei Multiplikation)
d) halte ich für ein Gerücht
e) glaube ich auch
f) sehe ich auf dem ersten Blick das bei der Multiplikation nicht ganz.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Sa 13.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für die schnelle Hilfe, aber ich weiß jetzt immer noch nicht, ob ich das mit einem Beispiel einfach zeigen kann oder ob ich dass allgemein zeigen muss.
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Natürlich reicht ein Beispiel nie für einen Beweis! selbst nach 1000 beispielen ist vielleicht das 1001ste falsch.
es hilft dir höchstens zu sehen dass es wahrscheinlich wahr ist, wenn du es sehr allgemein gewählt hast.
Also Beispiele sind gut, damit du siehst, wie es läuft. danach kommt der allgemeine Beweis.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 So 14.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Guten Morgen,
ich versteh irgendwie nicht, wie ich das auf b) übertragen soll. Analog zu a kann ich ja nicht schreiben oder?
Würde es ausreichen zu schreiben:
Addition:
[mm] diag(a_1,...,a_n) [/mm] + [mm] diag(b_1,...,b_n) [/mm] = [mm] diag(a_1+b_1,...,a_n+b_n)=diag(c_1,.....,c_n)
[/mm]
Mutliplikation:
[mm] iag(a_1,...,a_n) [/mm] · [mm] diag(b_1,...,b_n) [/mm] = [mm] diag(a_1b_1,...,a_nb_n)=diag(c_1,.....,c_n)
[/mm]
?????
danke im voraus
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Was Du geschrieben hast ist richtig. Aber die genaue Begründung, mit der Def. der Matrizenmultiplikation , fehlt noch
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 14.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
bei der b) habe ich das mit der Begründung ergänzt danke für den Hinweis!
zu c)
Addition: folgt aus der Definition der Addition von Matrizen
Multiplikation:
Seien A und B zwei Matrizen
detA=det [mm] \pmat{ a_11 & a_12 \\ a_21 & a_22 }=a_11* [/mm] a_22-a_12*a-21
detB=det [mm] \pmat{ b_11 & b_12 \\ b_21 & a_22 }=b_11* [/mm] b_22-b_12*b-21
angenommen: a_11, a_12,b_11_b12 seien 0
daraus folgt: (a_11* a_22-a_12*a-21)*(b_11* b_22-b_12*b-21)=0
Ingesammt sind Matrizen, bei denen die erste Zeile nur Nullen enthält, abgeschlossen unter Matrizenaddition und Multiplikation.
zu d)
Addition: folgt aus der Definition der Addition von Matrizen und den Rechenregeln von negativen Zahlen ((-a)+(-b))=-ab
Mutliplikation:
Hier habe ich ein Gegenbeweis:
[mm] \pmat{ -1 & -2 & -1\\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -2}*\pmat{ -3 & -2 & -3\\ -2 & -3 & -2 \\ -2 & -2 & -2}=\pmat{ 9 & 10 & 11\\ 12 & 7 & 12 \\ 14 & 9 & 14}
[/mm]
Somit folgt, die Abgschlossenheit von Matrizen mit ausschließlich negativen Einträgen, nur unter der Matrizenaddition, nicht unter der Multiplikation.
zu e)
die Addition folgt aus der Begründung von a aber weiter komme ich leider nicht.
Ist das was ich bis hierhin habe richtig?
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
>
> bei der b) habe ich das mit der Begründung ergänzt danke
> für den Hinweis!
>
> zu c)
>
> Addition: folgt aus der Definition der Addition von
> Matrizen
>
> Multiplikation:
> Seien A und B zwei Matrizen
>
> detA=det [mm]\pmat{ a_11 & a_12 \\
a_21 & a_22 }=a_11*[/mm]
> a_22-a_12*a-21
>
> detB=det [mm]\pmat{ b_11 & b_12 \\
b_21 & a_22 }=b_11*[/mm]
> b_22-b_12*b-21
>
> angenommen: a_11, a_12,b_11_b12 seien 0
>
> daraus folgt: (a_11* a_22-a_12*a-21)*(b_11*
> b_22-b_12*b-21)=0
>
> Ingesammt sind Matrizen, bei denen die erste Zeile nur
> Nullen enthält, abgeschlossen unter Matrizenaddition und
> Multiplikation.
Ich meinte nur man sieht es schnell, wenn man sich die Determinante auschaut, dass das stimmen muss. Nullzeile => Deteminante=0. Wenn man zwei Matrizen mit jeweils Deteminante 0 miteinander multipliziert ist auch deren Determinante Null. Den Beweis würde ich dennoch über die Rechenregel der Matrizelmultiplikation führen, da auch [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 1 } [/mm] Deteminante Null hat.
Also wieder
$ [mm] c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} [/mm] $ für i,j = 1,...,n
[mm] $a_{0i}=b_{0i}=0\forall [/mm] i$
Wobei für $ [mm] c_{0j}=\sum_{k=1}^{n} a_{0k}b_{kj} [/mm] $ für j = 1,...,n gilt....
>
> zu d)
>
> Addition: folgt aus der Definition der Addition von
> Matrizen und den Rechenregeln von negativen Zahlen
> ((-a)+(-b))=-ab
>
> Mutliplikation:
> Hier habe ich ein Gegenbeweis:
>
> [mm]\pmat{ -1 & -2 & -1\\
-2 & -1 & -2 \\
-2 & -2 & -2}*\pmat{ -3 & -2 & -3\\
-2 & -3 & -2 \\
-2 & -2 & -2}=\pmat{ 9 & 10 & 11\\
12 & 7 & 12 \\
14 & 9 & 14}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zusatz: Welche weitere Bedingung muss vorhanden sein, damit das gilt?
>
> Somit folgt, die Abgschlossenheit von Matrizen mit
> ausschließlich negativen Einträgen, nur unter der
> Matrizenaddition, nicht unter der Multiplikation.
>
> zu e)
>
> die Addition folgt aus der Begründung von a aber weiter
> komme ich leider nicht.
Die Rationalen Zahlen bilden einen Körper, d.h. die Operationen Addition und Multiplikation sind laut den Körperaxiomen ____________ .
Die Multiplikation zweier Matrizen besteht aus Addition und Multiplikation in [mm] $\IQ$
[/mm]
>
>
> Ist das was ich bis hierhin habe richtig?
>
>
> Lg Melisa
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Sa 13.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Da hab ich völlig vergessen auf die Frage direkt zu anworten. Sorry.
> weil man ja Beispiele eigentlich für ein Gegenbeweis verwendet?
Damit hatte ich gedacht. Es hätte sich geklärt. Mit deiner "Beweismethode von Beispielen" könntest du ja auch behaupten die Wurzel einer natürlichen Zahl ist stets gerade:
[mm]\sqrt{4}=2,\sqrt{16}=4,\ldots[/mm]
|
|
|
|
